Формулы - Mathematics, Physics & Chemistry

📐

Справочник по тригонометрии

Тригонометрические тождества, формулы сложения, двойные углы, формула Эйлера, теоремы синусов и косинусов.

92+ уравнений

📊

Таблица значений углов тригонометрического единичного круга

Точные тригонометрические соотношения для опорных углов в градусах и радианах

Стандартный справочник

Градусы (x)	Радианы (rad)	sin(x)	cos(x)	tan(x)	csc(x)	sec(x)	cot(x)
0°	0	0	1	0	не определено	1	не определено
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	2	2√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	√2	√2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	2√3/3	2	√3/3
90°	π/2	1	0	не определено	1	не определено	0
120°	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	2√3/3	-2	-√3/3
135°	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	√2	-√2	-1
150°	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	2	-2√3/3	-√3
180°	π	0	-1	0	не определено	-1	не определено
270°	3π/2	-1	0	не определено	-1	не определено	0
360°	2π	0	1	0	не определено	1	не определено

🔄

Взаимные и факторные тождества

8 формул

Фундаментальные связи между первичными и обратными тригонометрическими отношениями

1

Синус обратный

sin(x) = 1csc(x)

csc(x) ≠ 0; x ≠ nπ

2

Косеканс обратная

csc(x) = 1sin(x)

sin(x) ≠ 0; x ≠ nπ

3

Косинус обратный

cos(x) = 1sec(x)

sec(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

4

секущая обратная

sec(x) = 1cos(x)

cos(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

5

Касательная обратная

tan(x) = 1cot(x)

cot(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

6

Котангенс, обратный

cot(x) = 1tan(x)

tan(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

7

Касательный коэффициент

tan(x) = sin(x)cos(x)

Отношение противоположного к смежному в прямоугольном треугольнике

8

Котангенсный коэффициент

cot(x) = cos(x)sin(x)

Отношение смежного к противоположному в прямоугольном треугольнике

🪞

Формулы противоположного угла (четные и нечетные функции)

6 формул

Поведение симметрии тригонометрических функций при отрицании угла

1

Синус отрицательный угол (нечетная функция)

sin(-x) = -sin(x)

Симметрично относительно начала координат

2

Косинус отрицательный угол (четная функция)

cos(-x) = cos(x)

Симметрично относительно оси Y

3

Касательный отрицательный угол (нечетная функция)

tan(-x) = -tan(x)

Странная симметрия вокруг происхождения

4

Котангенс отрицательный угол (нечетная функция)

cot(-x) = -cot(x)

Странная симметрия вокруг происхождения

5

Секущий отрицательный угол (четная функция)

sec(-x) = sec(x)

Наследует даже симметрию от косинуса

6

Косеканс отрицательный угол (нечетная функция)

csc(-x) = -csc(x)

Наследует нечетную симметрию от синуса

📐

Формулы кофункции (дополнительные углы)

6 формул

Тождества, связывающие тригонометрические функции дополнительных углов (π/2 - x или 90° - x)

1

Синусоидальная кофункция

sin(π2- x) = cos(x)

Также: sin(90° - x) = cos(x)

2

Косинус-кофункция

cos(π2- x) = sin(x)

Также: cos(90° - x) = sin(x)

3

Касательная кофункция

tan(π2- x) = cot(x)

Также: tan(90° - x) = кроватка(x)

4

Котангенс-кофункция

cot(π2- x) = tan(x)

Также: кроватка(90° - x) = tan(x)

5

секущая кофункция

sec(π2- x) = csc(x)

Также: sec(90° - x) = csc(x)

6

Косекансная кофункция

csc(π2- x) = sec(x)

Также: csc(90° - x) = sec(x)

🔺

Пифагорейские тождества и алгебраические формы

9 формул

Получено непосредственно из единичного круга (x² + y² = 1) и тригонометрии прямоугольного треугольника.

1

Первичная пифагорейская идентичность

sin²(x) + cos²(x) = 1

Фундаментальное тождество справедливо для всех действительных углов x.

2

Синус через косинус

sin(x) = ±√1 - cos²(x)

Знак выбран на основе квадранта x

3

Косинус через синус

cos(x) = ±√1 - sin²(x)

Знак выбран на основе квадранта x

4

Касательно-секущая пифагорейская идентичность

1 + tan²(x) = sec²(x)

Получается путем деления sin²(x) + cos²(x) = 1 на cos²(x).

5

Форма разности секанс-тангенс

sec²(x) - tan²(x) = 1

Действительно, если cos(x) ≠ 0

6

Котангенс-косеканс Пифагора тождество

1 + cot²(x) = csc²(x)

Получается путем деления sin²(x) + cos²(x) = 1 на sin²(x).

7

Форма разности косеканс-котангенс

csc²(x) - cot²(x) = 1

Действительно, если sin(x) ≠ 0

8

Радикальная нормализация единичного круга

√sin²(x) + cos²(x) = 1

Геометрическая длина гипотенузы на единичной окружности

9

Идентичность продукта Unity

sin(x)·csc(x) = 1, cos(x)·sec(x) = 1, tan(x)·cot(x) = 1

Взаимные произведения равны единице

➕

Сложение и вычитание углов (составные углы)

8 формул

Формулы тригонометрических отношений суммы и разности двух углов (А±В)

1

Синус суммы углов

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Основная формула составного угла для сложения синуса

2

Синус разности углов

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Ключевая формула составного угла для разности синусов

3

Косинус суммы углов

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Обратите внимание на знак минус в разложении суммы косинусов.

4

Косинус разности углов

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Обратите внимание на знак плюса в разложении косинусной разности.

5

Тангенс суммы углов

tan(A + B) = tan(A) + tan(B)1 - tan(A)tan(B)

Требуется tan(A)tan(B) ≠ 1

6

Тангенс разности углов

tan(A - B) = tan(A) - tan(B)1 + tan(A)tan(B)

Требуется tan(A)tan(B) ≠ -1

7

Котангенс суммы углов

cot(A + B) = cot(A)cot(B) - 1cot(B) + cot(A)

Сложная формула котангенса суммы

8

Котангенс разности углов

cot(A - B) = cot(A)cot(B) + 1cot(B) - cot(A)

Сложная формула для разности котангенсов

✖️2️⃣

Формулы двойного угла (2x)

7 формул

Выражение функций двойного угла (2x) через одинарный угол (x)

1

Синус двойной угол

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

Включает форму параметризации рационального касательного.

2

Двойной угол косинуса (стандартная разность)

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Прямое следствие cos(x + x)

3

Двойной угол косинуса (только косинус)

cos(2x) = 2 cos²(x) - 1

Решающее значение для интеграции и снижения энергопотребления

4

Двойной угол косинуса (только синусоидальный)

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

Решающее значение для интегрирования и вывода половинного угла.

5

Двойной косинусный угол (параметризация касательной)

cos(2x) = 1 - tan²(x)1 + tan²(x)

Соотношение замены Вейерштрасса для косинуса

6

Касательный двойной угол

tan(2x) = 2 tan(x)1 - tan²(x)

Требуется tan²(x) ≠ 1

7

Котангенс двойного угла

cot(2x) = cot²(x) - 12 cot(x)

Требуется кроватка(x) ≠ 0

3️⃣

Формулы тройного угла (3x)

4 формул

Тригонометрические функции от 3x, выраженные в виде одноуглового полинома

1

Синус тройной угол

sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x)

Полезно для решения кубических уравнений и алгебры.

2

Косинус тройной угол

cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)

Прямой кубический полином Чебышева T₃(x) = 4x³ - 3x

3

Касательный тройной угол

tan(3x) = 3 tan(x) - tan³(x)1 - 3 tan²(x)

Требуется 3tan²(x) ≠ 1

4

Котангенс тройного угла

cot(3x) = 3 cot(x) - cot³(x)1 - 3 cot²(x)

Требуется 3 кроватки²(x) ≠ 1

½

Формулы половинного угла (x/2)

6 формул

Точные формулы для половинных углов со знаком, определяемым квадрантом x/2

1

Синусоидальный полуугол

sin(x2) = ±√1 - cos(x)2

± знак выбран на основе квадранта, содержащего x/2

2

Косинус полуугол

cos(x2) = ±√1 + cos(x)2

± знак выбран на основе квадранта, содержащего x/2

3

Касательная полуугол (радикальная форма)

tan(x2) = ±√1 - cos(x)1 + cos(x)

Форма полуугла с квадратным корнем для касательной

4

Касательная полуугол (рациональная форма 1)

tan(x2) = 1 - cos(x)sin(x)

Никакой двусмысленности знаков; точный для всех x ≠ nπ

5

Касательная полуугол (рациональная форма 2/разность)

tan(x2) = sin(x)1 + cos(x) = csc(x) - cot(x)

Эквивалентно разнице csc(x) - cot(x)

6

Котангенс полуугла

cot(x2) = 1 + cos(x)sin(x) = csc(x) + cot(x)

Эквивалент суммы csc(x) + cot(x)

⚡

Формулы снижения мощности (квадрат и высшие степени)

7 формул

Преобразует степени тригонометрических функций в кратные x первой степени (необходимо для интеграции исчисления).

1

Синусоидальное снижение мощности

sin²(x) = 1 - cos(2x)2

Приведение первообразной фундаментального исчисления: ∫sin²(x)dx

2

Косинус-квадрат снижения мощности

cos²(x) = 1 + cos(2x)2

Приведение первообразной фундаментального исчисления: ∫cos²(x)dx

3

Снижение мощности в тангенциальном квадрате

tan²(x) = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)

Форма рациональной косинусной дроби для tan²(x)

4

Синусоидальное снижение мощности

sin³(x) = 3 sin(x) - sin(3x)4

Получено непосредственно из тождества тройного угла sin(3x)

5

Снижение мощности в косинусном кубе

cos³(x) = 3 cos(x) + cos(3x)4

Получено непосредственно из тройного угла cos(3x).

6

Синусоидальное понижение четвертой степени

sin⁴(x) = 3 - 4 cos(2x) + cos(4x)8

Используется для рядов Фурье и интегралов более высокого порядка.

7

Косинусное приведение в четвертой степени

cos⁴(x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)8

Используется для рядов Фурье и интегралов более высокого порядка.

✖️➡️➕

Формулы произведения к сумме

4 формул

Преобразует произведения синуса и косинуса в сумму и разность (важно для волновой механики и интегралов).

1

Синус × Синусоидальное произведение

sin(A) sin(B) = ½ [cos(A - B) - cos(A + B)]

Преобразует продукты волновой интерференции в аддитивные компоненты.

2

Косинус × произведение косинуса

cos(A) cos(B) = ½ [cos(A - B) + cos(A + B)]

Преобразует косинусоидальные продукты в аддитивные компоненты.

3

Синус × косинус

sin(A) cos(B) = ½ [sin(A + B) + sin(A - B)]

Формула произведения модуляции стандартного сигнала

4

Косинус × Синус Произведение

cos(A) sin(B) = ½ [sin(A + B) - sin(A - B)]

Дополнительное разложение продукта

➕➡️✖️

Формулы преобразования суммы в произведение

6 формул

Преобразует суммы и разности тригонометрических функций в мультипликативные произведения.

1

Синус + Синус Сумма

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)

Объясняет явление частоты биений в акустике акустических волн.

2

Синус – разность синусов

sin(A) - sin(B) = 2 sin(A - B2) cos(A + B2)

Форма дифференциально-волнового анализа

3

Косинус + сумма косинусов

cos(A) + cos(B) = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)

Равномерное преобразование суммы в произведение

4

Косинус - Разность косинусов

cos(A) - cos(B) = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)

Обратите внимание на ведущий отрицательный знак (или обратный порядок B – A).

5

Тангенс + Касательная сумма

tan(A) + tan(B) = sin(A + B)cos(A) cos(B)

Вычисляет комбинированные касательные уклоны

6

Тангенс – Касательная разница

tan(A) - tan(B) = sin(A - B)cos(A) cos(B)

Вычисляет разницу наклонов касательных

📐

Законы треугольника и геометрические соотношения

7 формул

Законы решения общих косоугольных треугольников (закон синусов, косинусов, тангенсов и формулы Молвейде)

1

Закон синусов

asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R

R — радиус описанной окружности (окружный радиус).

a, b, c: Длины сторон A, B, C: Противоположные углы R: Окружной радиус

2

Закон косинусов (Сторона a/угол A)

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

Решает SAS (Side-Angle-Side) или SSS (Side-Side-Side)

3

Закон косинусов (сторона b и сторона c)

b² = a² + c² - 2ac cos(B), c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Симметричные версии для сторон b и c

4

Закон касательных

a - ba + b = tan[½(A - B)]tan[½(A + B)]

Исторически использовался для логарифмических вычислений в навигации.

5

Первая формула Молвейде

a + bc = cos[½(A - B)]sin(½C)

Отличная формула для проверки согласованности решателя треугольников

6

Вторая формула Молвейде

a - bc = sin[½(A - B)]cos(½C)

Дополнительное соотношение согласованности Моллвейде

7

Площадь тригонометрического треугольника (SAS)

Area = ½ a b sin(C) = ½ b c sin(A) = ½ a c sin(B)

Вычисляет площадь с двух сторон и внутреннего угла.

⭕

Длина дуги, сектора и круговое движение

3 формул

Отношения, связывающие угол в радианах с искривленным расстоянием, площадью сектора и угловой скоростью.

1

Формула длины дуги

S = r x

Угол x ДОЛЖЕН быть выражен в радианах (x = x° × π / 180°).

S: Длина дуги r: Радиус окружности x: Центральный угол (радианы)

2

Площадь кругового сектора

Area = ½ r² x = ½ r S

х в радианах; равен ½ × радиус × длина дуги

3

Линейная скорость и угловая скорость

v = r ω, ω = xt = 2π f

Связывает линейную тангенциальную скорость v с угловой скоростью ω и частотой f.

🌐

Формула Эйлера, триггер Де Муавра и комплексный триггер

5 формул

Мост, соединяющий экспоненциальный комплексный анализ и полярную тригонометрию

1

Формула Эйлера

e^(ix) = cos(x) + i sin(x) = cis(x)

Связывает экспоненциальную функцию напрямую с синусом и косинусом; для x=π дает e^(iπ) + 1 = 0

2

Формула де Муавра

(r cis x)ⁿ = rⁿ cis(nx) = rⁿ [cos(nx) + i sin(nx)]

Мгновенно вычисляет степени и корни комплексных чисел

3

Полярное умножение и деление

(r₁ cis x)(r₂ cis φ) = r₁r₂ cis(x + φ),r₁ cis xr₂ cis φ = (r₁r₂) cis(x - φ)

Величины умножаются/делятся; Аргументы угла сложить/вычесть

4

Экспоненциальное определение косинуса

cos(x) = e^(ix) + e^(-ix)2

Алгебраически выражает косинус с помощью комплексных экспонент.

5

Экспоненциальное определение синуса

sin(x) = e^(ix) - e^(-ix)2i

Выражает синус алгебраически с помощью комплексных экспонент.

↩️

Обратные тригонометрические тождества

6 формул

Свойства, тождества ветвей главного значения и формулы сумм для обратных круговых функций

1

Обратные дополнительные тождества

sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π2, tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = π2, sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π2

Действительно в соответствующих доменах: x ∈ [-1, 1], x ∈ ℝ, |x| ≥ 1

2

Формула обратной касательной суммы

tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x + y1 - xy)

Если xy > 1 и x,y > 0, прибавьте π к результату

3

Формула обратной касательной разности

tan⁻¹(x) - tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x - y1 + xy)

Стандартная формула вычитания обратного тангенса

4

Множественные представления двойной обратной касательной

2 tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x1 + x²) = cos⁻¹(1 - x²1 + x²) = tan⁻¹(2x1 - x²)

Решающее значение для исчисления t-замена Вейерштрасса (t = tan(x/2))

5

Обратные тождества с отрицательным аргументом

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x), tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹(x), cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x)

Обратите внимание, что cos⁻¹(-x) производит π - cos⁻¹(x)

6

Соотношения обратных взаимных функций

csc⁻¹(x) = sin⁻¹(1x), sec⁻¹(x) = cos⁻¹(1x), cot⁻¹(x) = tan⁻¹(1x) [x > 0]

Взаимное отображение аргументов для обратных функций

⚡

Правила дифференцирования и производные

Степенное правило, произведение, частное, цепное правило, производные экспоненциальных и логарифмических функций.

44+ уравнений

⚡

Фундаментальные правила и операции производных

9 формул

Основные правила операционного дифференцирования для констант, степеней и алгебраических комбинаций

1

Производная по первым принципам (определение предела)

f'(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x))h

Фундаментальное определение производной как мгновенной скорости изменения

2

Постоянное правило

ddx [c] = 0

Производная любой константы c равна нулю

3

Правило мощности

ddx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

Действительно для всех действительных показателей n (n ∈ ℝ)

4

Постоянное множественное правило

ddx [c·f(x)] = c·f'(x)

Константы фактор из дифференцирования

5

Правило суммы и разницы

ddx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

Дифференцирование - это линейный оператор

6

Правило продукта (правило Лейбница)

ddx [f(x)·g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Первое дифференцировать, второе удерживать плюс первое удерживать, второе дифференцировать

7

Правило частного

ddx [f(x)g(x)] = g(x)f'(x) - f(x)g'(x)[g(x)]²

Требуется g(x) ≠ 0

8

Цепное правило (составные функции)

ddx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

Дифференцировать внешнюю функцию, оцененную по внутренней, умножить на производную внутренней

9

Правило взаимной функции

ddx [1f(x)] = -f'(x)[f(x)]²

Прямой ярлык для возвратно-поступательных функций

📈

Экспоненциальные и логарифмические производные

7 формул

Производные натуральных, общих базовых экспонент и логарифмических функций

1

Натуральная экспоненциальная производная

ddx [eˣ] = eˣ

Уникальная ненулевая функция, равная собственной производной

2

Составная натуральная экспоненциальная производная

ddx [e^(f(x))] = e^(f(x))·f'(x)

Цепное правило, примененное к натуральной экспоненте

3

Общая базовая экспоненциальная производная

ddx [aˣ] = aˣ·ln(a)

Действительно для a > 0, a ≠ 1

4

Производная натурального логарифма

ddx [ln(x)] = 1x

Для абсолютных значений: d/dx [ln|x|] = 1 / x (x ≠ 0)

5

Производная составного натурального логарифма

ddx [ln(f(x))] = f'(x)f(x)

Логарифмическая производная/относительная скорость изменения

6

Производная логарифма по общему основанию

ddx [log_a(x)] = 1x·ln(a)

Изменение формулы базовой дифференциации

7

Переменная база и переменная степень (xˣ)

ddx [xˣ] = xˣ·(1 + ln(x))

Получено с помощью логарифмического дифференцирования y = xˣ ⇒ ln y = x ln x

📐

Производные тригонометрической функции

7 формул

Производные всех шести стандартных тригонометрических функций (sin, cos, tan, cot, sec, csc)

1

Производная синуса

ddx [sin(x)] = cos(x)

Скорость изменения синуса является косинусом

2

Производная косинуса

ddx [cos(x)] = -sin(x)

Обратите внимание на отрицательный знак для функции «co-».

3

Производная тангенса

ddx [tan(x)] = sec²(x)

Также равно 1 + tan²(x)

4

Производная котангенса

ddx [cot(x)] = -csc²(x)

Также равно -(1 + детская кроватка²(x))

5

Производная секанса

ddx [sec(x)] = sec(x)·tan(x)

Произведение секущего и тангенса

6

Производная от косеканса

ddx [csc(x)] = -csc(x)·cot(x)

Произведение косеканса и котангенса с отрицательным знаком

7

Составная форма тригонометрической цепочки

ddx [sin(f(x))] = cos(f(x))·f'(x), ddx [cos(f(x))] = -sin(f(x))·f'(x)

Стандартное обобщенное тригонометрическое цепное правило

↩️

Обратные тригонометрические производные

6 формул

Производные обратного синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секущего и косеканса.

1

Производная обратного синуса

ddx [sin⁻¹(x)] = 1√1 - x²

Домен строго между -1 и 1

2

Производная обратного косинуса

ddx [cos⁻¹(x)] = -1√1 - x²

Точный минус обратной производной синуса

3

Производная обратного тангенса

ddx [tan⁻¹(x)] = 11 + x²

Действительно для всех действительных чисел без сингулярности.

4

Производная обратного котангенса

ddx [cot⁻¹(x)] = -11 + x²

Точный отрицательный результат производной обратного тангенса

5

Производная обратного секанса

ddx [sec⁻¹(x)] = 1|x|·√x² - 1

Требуется |x| > 1

6

Производная обратного косеканса

ddx [csc⁻¹(x)] = -1|x|·√x² - 1

Точный отрицательный результат производной обратного секущего

〰️

Гиперболические и обратные гиперболические производные

9 формул

Производные от sinh, cosh, tanh и соответствующих им обратных функций.

1

Производная гиперболического синуса (sinh x)

ddx [sinh(x)] = cosh(x)

Обратите внимание на отсутствие отрицательного знака (в отличие от обычного косинуса).

2

Производная гиперболического косинуса (cosh x)

ddx [cosh(x)] = sinh(x)

Положительная скорость изменений

3

Производная гиперболического тангенса (tanh x)

ddx [tanh(x)] = sech²(x)

Решающее значение для обратного распространения ошибки активации нейронной сети

4

Производная гиперболического котангенса (coth x)

ddx [coth(x)] = -csch²(x)

Отрицательный гиперболический косеканс в квадрате

5

Производная гиперболического секанса (sech x)

ddx [sech(x)] = -sech(x)·tanh(x)

Отрицательное гиперболическое произведение

6

Производная гиперболического косеканса (csch x)

ddx [csch(x)] = -csch(x)·coth(x)

Отрицательное гиперболическое произведение

7

Производная обратного гиперболического синуса

ddx [arsinh(x)] = 1√x² + 1

Действительно для всех действительных x

8

Производная обратного гиперболического косинуса

ddx [arcosh(x)] = 1√x² - 1

Действительно для x > 1

9

Производная обратного гиперболического тангенса

ddx [artanh(x)] = 11 - x²

Действительно для |x| < 1

🔬

Расширенные методы и теоремы дифференцирования

6 формул

Неявное дифференцирование, параметрические кривые, правило Лопиталя и разложения Тейлора

1

Параметрическая первая производная (dy/dx)

dydx = dydtdxdt

Рассчитывает наклон касательной кривой на основе параметрических уравнений x(t), y(t)

2

Параметрическая вторая производная (d²y/dx²)

d²ydx² = [ddt (dydx)]dxdt

Рассчитывает вогнутость параметрических кривых

3

Правило Лопиталя (пределы 0/0 или ∞/∞)

lim[x→c] f(x)g(x) = lim[x→c] f'(x)g'(x)

Разрешает неопределенные пределы, независимо дифференцируя числитель и знаменатель.

4

Теорема о среднем значении (MVT)

f'(c) = f(b) - f(a)b - a

Гарантирует точку, в которой мгновенная скорость изменения равна средней скорости изменения.

5

Разложение в ряд Тейлора вокруг x = a

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(a)n!)·(x - a)ⁿ

Полиномиальная аппроксимация гладких дифференцируемых функций

6

Разложение в ряд Маклорена (a = 0)

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(0)n!)·xⁿ

Ряд Тейлора с центром в начале координат (x = 0)

∫

Интегрирование и стандартные первообразные

Табличные первообразные, методы подстановки, интегрирование по частям и тригонометрические интегралы.

54+ уравнений

∫

Основные правила и полномочия интеграции

6 формул

Элементарные правила первообразной для констант, алгебраических степеней и линейных комбинаций

1

Постоянный интеграл

∫ k dx = k·x + C

Первообразная константы k равна k·x + C

2

Силовое правило интеграции

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

Действительно для всех действительных степеней n, кроме n = -1.

3

Интеграл обратной функции (1/x)

∫ (1x) dx = ln|x| + C

Важный особый случай для n = -1 в степенном правиле

4

Правило линейности интегрирования

∫ [a·f(x) ± b·g(x)] dx = a ∫ f(x) dx ± b ∫ g(x) dx

Интегрирование - это линейная функциональная операция.

5

Линейное составное степенное правило

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

Ярлык для линейных биномиальных степеней

6

Линейный составной обратный интеграл

∫ (1ax + b) dx = (1a)·ln|ax + b| + C

Стандартная формула интегрирования линейного знаменателя

📈

Экспоненциальные и логарифмические интегралы

6 формул

Первообразные, включающие натуральное eˣ, общее основание aˣ и логарифмические члены.

1

Натуральный экспоненциальный интеграл

∫ eˣ dx = eˣ + C

Функция равна своей первообразной с точностью до константы C.

2

Масштабированный экспоненциальный интеграл (eᵃˣ)

∫ e^(ax) dx = (1a)·e^(ax) + C

Стандартное правило масштабированного экспоненциального интегрирования

3

Общий базовый экспоненциальный интеграл (aˣ)

∫ aˣ dx = aˣln(a)+ C

Делит на ln(a), поскольку производная умножается на ln(a)

4

Натуральный логарифмический интеграл

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C

Получено с помощью интегрирования по частям с u = ln x, dv = dx

5

Общий базовый логарифмический интеграл

∫ log_a(x) dx = x·ln(x) - xln(a)+ C

Изменение базового интегрирования для логарифмов

6

Интеграл продукта (x · eˣ)

∫ x·eˣ dx = eˣ(x - 1) + C

Классическая интеграция по частям

📐

Основные тригонометрические интегралы

6 формул

Прямые первообразные, соответствующие стандартным тригонометрическим производным

1

Интеграл синуса

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

Обратите внимание на отрицательный знак в первообразной синуса.

2

Интеграл косинуса

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Прямая стандартная тригонометрическая первообразная

3

Интеграл от секущего в квадрате

∫ sec²(x) dx = tan(x) + C

Поскольку производная тангенса равна квадрату секущего

4

Интеграл от косеканса в квадрате

∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C

Поскольку производная котангенса равна -csc²(x)

5

Интеграл от секанса × тангенса

∫ sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C

Прямое обращение производной sec(x)

6

Интеграл от косеканта × котангенса

∫ csc(x) cot(x) dx = -csc(x) + C

Прямое обращение производной csc(x)

⚡

Расширенные и квадратурные тригонометрические интегралы

8 формул

Интегралы от tan, cot, sec, csc и тригонометрических членов в квадрате.

1

Интеграл от касательной

∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C = -ln|cos(x)| + C

Оценивается заменой u = cos(x)

2

Интеграл от котангенса

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C = -ln|csc(x)| + C

Оценивается заменой u = sin(x)

3

Интеграл от секанса

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Знаменитый интеграл исчисления, умноженный на (sec x + tan x)/(sec x + tan x)

4

Интеграл от косеканса

∫ csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C = ln|tan(x2)| + C

Стандартный логарифмический косекансный интеграл

5

Интеграл синуса в квадрате (sin² x)

∫ sin²(x) dx = (x2) - (sin(2x)4) + C

Оценивается с использованием тождества снижения мощности sin²(x) = (1 - cos 2x)/2

6

Интеграл от квадрата косинуса (cos² x)

∫ cos²(x) dx = (x2) + (sin(2x)4) + C

Оценивается с использованием тождества снижения мощности cos²(x) = (1 + cos 2x)/2

7

Интеграл от квадрата тангенса (tan² x)

∫ tan²(x) dx = tan(x) - x + C

Оценивается с использованием тождества tan²(x) = sec²(x) - 1.

8

Интеграл от котангенса в квадрате (cot² x)

∫ cot²(x) dx = -cot(x) - x + C

Оценивается с использованием идентификатора cot²(x) = csc²(x) - 1.

↩️

Интегралы, дающие обратные тригонометрические функции

5 формул

Стандартные интегралы алгебраических дробей, первообразные которых являются обратными тригонометрическими функциями.

1

Интегральный выходной обратный синус

∫ (1√a² - x²) dx = sin⁻¹(xa) + C

Обратите внимание: нет 1/фактора снаружи для обратного синуса.

2

Интегральный обратный тангенс

∫ (1a² + x²) dx = (1a)·tan⁻¹(xa) + C

Коэффициент 1/a требуется в отличие от обратного синуса.

3

Интегральный обратный секанс

∫ (1x·√x² - a²) dx = (1a)·sec⁻¹(|x|a) + C

Включает коэффициент 1/a и абсолютное значение |x|

4

Интеграл от 1 / (x² - a²)

∫ (1x² - a²) dx = (12a)·ln|(x - a)x + a| + C

Получено путем разложения частичных дробей 1/(x²-a²)

5

Интеграл от 1 / (a² - x²)

∫ (1a² - x²) dx = (12a)·ln|(a + x)a - x| + C

Получено путем разложения частичных дробей 1/(a²-x²)

√

Специальные радикальные интегралы с квадратным корнем

4 формул

Стандартные радикальные интегралы, решенные с помощью тригонометрической замены (x = a sin θ, tan θ, a sec θ)

1

Интеграл от √(a² - x²)

∫ √a² - x² dx = (x2)√a² - x² + (a²2)sin⁻¹(xa) + C

Используется для расчета площадей круговых и эллиптических секторов.

2

Интеграл от √(x² + a²)

∫ √x² + a² dx = (x2)√x² + a² + (a²2)ln|x + √x² + a²| + C

Решается с помощью замены x = a tan θ или гиперболического x = a sinh u

3

Интеграл от √(x² - a²)

∫ √x² - a² dx = (x2)√x² - a² - (a²2)ln|x + √x² - a²| + C

Решено с использованием замены x = a sec θ или гиперболического x = a ch u

4

Интеграл от 1 / √(x² ± a²)

∫ (1√x² ± a²) dx = ln|x + √x² ± a²| + C

Также равно arsinh(x/a) и arcosh(x/a) соответственно.

〰️

Гиперболические функциональные интегралы

6 формул

Первообразные для синх, кош, тан и гиперболических тригонометрических форм.

1

Интеграл от гиперболического синуса (sinh x)

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

Положительный cosh(x) + C (без отрицательного знака)

2

Интеграл от гиперболического косинуса (cosh x)

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

Прямая гиперболическая первообразная

3

Интеграл от гиперболического тангенса (tanh x)

∫ tanh(x) dx = ln(cosh x) + C

Поскольку cosh x > 0 для всех действительных x, абсолютное значение не требуется.

4

Интеграл от квадрата гиперболического секущего (sech² x)

∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C

Прямая первообразная, дающая tanh (x)

5

Интеграл от квадрата гиперболического косеканса (csch² x)

∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C

Отрицательный гиперболический котангенс

6

Интеграл от sech(x) · tanh(x)

∫ sech(x) tanh(x) dx = -sech(x) + C

Первообразная гиперболического произведения секанс-касательный

🛠️

Методы и методы интеграции

4 формул

Общие методы аналитического интегрирования: части, замена и частичные дроби.

1

Интегрирование по формуле частей

∫ u dv = u·v - ∫ v du

Выберите u, используя правило LIATE (логарифмическое, обратное тригонометрическое, алгебраическое, тригонометрическое, экспоненциальное)

2

Интегрирование U-заменой (замена переменных)

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du

Отменяет цепное правило дифференциации

3

Замена полуугла Вейерштрасса (t = tan(x/2))

sin(x) = 2t1+t², cos(x) = 1-t²1+t², dx = 2dt1+t²

Преобразует любой рациональный тригонометрический интеграл в рациональный полиномиальный алгебраический интеграл.

4

Форма логарифмической производной (∫ f'(x)/f(x) dx)

∫ (f'(x)f(x)) dx = ln|f(x)| + C

Всякий раз, когда числитель является точной производной знаменателя

📊

Определенные интегралы и фундаментальные теоремы

5 формул

Фундаментальная теорема исчисления (FTC), свойства симметрии и правило Лейбница

1

Основная теорема исчисления (Часть 1 – Дифференцирование интеграла)

ddx [ ∫xa f(t) dt ] = f(x)

Связывает дифференцирование и интегрирование как обратные математические операции.

2

Основная теорема исчисления (Часть 2 — Теорема об оценке)

∫ba f(x) dx = F(b) - F(a)

Оценивает чистую площадь и накопленное изменение за интервал [a, b]

3

Правило Лейбница для дифференцирования под интегральным знаком

ddx [ ∫v(x)u(x) f(t) dt ] = f(v(x))·v'(x) - f(u(x))·u'(x)

Цепное правило распространено на переменные нижний и верхний пределы интеграции

4

Определенная интегральная четная/нечетная симметрия функции на [-a, a]

Even: ∫a-a f(x) dx = 2 ∫a0 f(x) dx, Odd: ∫a-a f(x) dx = 0

Мгновенное упрощение для симметричных границ интегрирования [-a, a]

5

Теорема о среднем значении для определенных интегралов

f_avg = (1b - a)·∫ba f(x) dx = f(c)

Вычисляет истинное среднее значение непрерывной функции по [a, b]

🔁

Формулы тригонометрического приведения

4 формул

Формулы рекурсивного приведения для интегрирования высших тригонометрических степеней (sinⁿ x, cosⁿ x, tanⁿ x, secⁿ x)

1

Формула снижения синусоидальной мощности

∫ sinⁿ(x) dx = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x)n+ (n - 1n) ∫ sinⁿ⁻²(x) dx

Уменьшает мощность синуса на 2 на каждой итерации

2

Формула уменьшения косинусной степени

∫ cosⁿ(x) dx = cosⁿ⁻¹(x)sin(x)n+ (n - 1n) ∫ cosⁿ⁻²(x) dx

Уменьшает степень косинуса на 2 на каждой итерации

3

Формула снижения касательной мощности

∫ tanⁿ(x) dx = tanⁿ⁻¹(x)n - 1 - ∫ tanⁿ⁻²(x) dx

Быстрая алгебраическая редукция для tanⁿ(x)

4

Формула снижения секущей мощности

∫ secⁿ(x) dx = secⁿ⁻²(x)tan(x)n - 1 + (n - 2n - 1) ∫ secⁿ⁻²(x) dx

Уменьшает более высокие степени секущей (например, ∫sec³ x dx)

🧮

Полный справочник по высшей математике

Алгебраические тождества, геометрия, матрицы, векторы, ряды, дифференциальные уравнения и теория вероятностей.

54+ уравнений

🔢

Глава 1: Алгебраические тождества, полиномы и неравенства

9 формул

Биномиальные разложения, сумма/разность кубов, соотношения Виета, биномиальная теорема и фундаментальные неравенства

1

Формула квадратного уравнения и корни

x = -b ± √b² - 4ac2a

Решения стандартного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0; дискриминант Δ = b² - 4ac определяет действительную/сложную природу

x: Корни квадратного уравнения a, b, c: Полиномиальные коэффициенты (a ≠ 0) Δ = b² - 4ac: Дискриминант (Δ > 0 различных вещественных чисел, Δ = 0 повторяющихся, Δ < 0 комплексно-сопряженных)

2

Биномиальный квадрат и тождества расширения куба

(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Фундаментальные полиномиальные разложения алгебраических биномов

a, b: Алгебраические термины или действительные числа

3

Трехчленный квадрат Идентичность

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

Разложение квадрата суммы трёх слагаемых

a, b, c: Алгебраические переменные

4

Факторизация разности и суммы кубов

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Точные алгебраические факторизации суммы и разности кубических членов.

a, b: Базовые условия

5

Кубическое тождество Эйлера с тремя переменными

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

Особый случай: если a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc.

a, b, c: Действительные или комплексные переменные

6

Общая биномиальная теорема

(x + y)ⁿ = ∑[k = 0 to n] (n!k!(n - k)!)·xⁿ⁻ᵏ·yᵏ

Расширяет любую положительную целую степень биномиальной суммы с помощью комбинаторных коэффициентов.

n: Неотрицательная целая степень k: Индекс термина (от 0 до n)

7

Формулы Виеты для полиномиальных корней

Quadratic: r₁ + r₂ = -ba, r₁·r₂ = ca; Cubic: ∑ r_i = -ba, ∑ r_i r_j = ca, r₁r₂r₃ = -da

Прямые связи между корнями полинома и коэффициентами

r_i: Корни многочлена P(x) = 0

8

AM-GM-HM Классические средние неравенства

AM ≥ GM ≥ HM ⟹ a₁ + a₂ + ... + a_nn ≥ ⁿ√a₁·a₂·...·a_n ≥ n1a₁+1a₂+ ... +1a_n

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда все элементы a₁ = a₂ = ... = a_n

AM: Среднее арифметическое GM: Среднее геометрическое HM: Гармоническое среднее

9

Неравенство Коши-Шварца

(∑[i = 1 to n] a_i·b_i)² ≤ (∑[i = 1 to n] a_i²)·(∑[i = 1 to n] b_i²)

Универсальное неравенство в реальных/комплексных пространствах внутреннего продукта

a_i, b_i: Последовательности действительных чисел или векторных компонентов

📐

Глава 2: 2D-координатная геометрия и конические сечения

8 формул

Расстояние, формулы сечения, прямые, окружности, параболы, эллипсы и гиперболы.

1

2D евклидова формула расстояния и сечения

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², x = m·x₂ ± n·x₁m ± n

Расстояние по прямой и внутреннее/внешнее деление отрезка линии, соединяющего (x₁, y₁) и (x₂, y₂)

d: Евклидово расстояние m : n: Коэффициент разделения сегментов

2

Формула треугольника и площади многоугольника на шнурке

Area = ½·|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

Вычисляет плоскую площадь по координатам трех вершин; нулевая площадь подразумевает коллинеарность

(x_i, y_i): Координаты вершины

3

Уравнения прямых линий и перпендикулярное расстояние

y - y₁ = m·(x - x₁), d_perp = |A·x₀ + B·y₀ +C|√A² + B²

Уравнение наклона точки и кратчайшее перпендикулярное расстояние от точки (x₀, y₀) до линии Ax + By + C = 0

m: Наклон линии (tan θ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) d_perp: Перпендикулярное расстояние до линии

4

Угол между двумя пересекающимися линиями

tan(θ) = |(m₂ - m₁)1 + m₁·m₂|

Острый угол пересечения; параллельные прямые имеют m₁ = m₂; перпендикулярные прямые имеют m₁·m₂ = -1

m₁, m₂: Наклоны двух пересекающихся линий

5

Стандартная и общая форма круга

(x - h)² + (y - k)² = r², x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ⟹ r = √g² + f² - c

Уравнение окружности с центром (h, k) и радиусом r

(h, k): Координаты центра круга r: Радиус окружности

6

Стандартная форма и эксцентриситет параболы

y² = 4ax, Focus: (a, 0), Directrix: x = -a, Latus Rectum: 4a, e = 1

Геометрическое положение точек, равноудаленных от фокуса и директрисы (эксцентриситет e = 1)

a: Параметр фокусного расстояния

7

Стандартная форма эллипса, эксцентриситет и площадь

x²a²+y²b² = 1, e = √1 -b²a², Foci: (±ae, 0), Area = π·a·b

Стандартный горизонтальный эллипс с большой полуосью a, малой полуосью b и эксцентриситетом e < 1.

a, b: Полубольшая и полумалая оси e: Эксцентриситет (0 <e <1)

8

Стандартная форма гиперболы и асимптоты

x²a²-y²b² = 1, e = √1 +b²a², Asymptotes: y = ±(ba)·x

Коническое сечение с эксцентриситетом e > 1 и линейными асимптотами, проходящими через начало координат.

e: Гиперболический эксцентриситет (e > 1)

🧊

Глава 3: Трехмерная твердотельная геометрия и измерения

6 формул

Трехмерное расстояние, сферы, цилиндры, конусы, усеченные конусы, тороиды и уравнения трехмерной плоскости.

1

Трехмерная формула расстояния и уравнение сферы

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)², (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

Евклидово расстояние в трехмерном декартовом пространстве и уравнение сферы с центром (x₀, y₀, z₀) и радиусом R

d: 3D пространственное расстояние R: Радиус сферы

2

Формулы измерения сферы и цилиндра

Sphere: V = (43)·π·R³, A = 4·π·R²; Cylinder: V = π·r²·h, A_total = 2·π·r·(r + h)

Формулы объемной емкости и общей площади поверхности твердых трехмерных сфер и цилиндров

R, r: Радиусы h: Высота цилиндра

3

Правый круглый конус и объем усеченной пирамиды

Cone: V = (13)·π·r²·h, l = √r² + h²; Frustum: V = (13)·π·h·(R² + r² + R·r)

Наклонная высота l, площадь боковой поверхности A_lat = π·r·l и объем усеченного конуса.

R, r: Базовый и верхний радиусы усеченной пирамиды h: Вертикальная высота l: Высота наклона

4

Объем и площадь поверхности тора (пончика)

V_torus = 2·π²·R·r², A_torus = 4·π²·R·r

Тело вращения, создаваемое вращением круга радиуса r вокруг оси с большим радиусом R от центра (R ≥ r)

R: Большой радиус (расстояние от центра трубки до центра тора) r: Малый радиус (радиус трубки)

5

Уравнение 3D-плоскости и вектор нормали

A·(x - x₀) + B·(y - y₀) + C·(z - z₀) = 0 ⟹ Ax + By + Cz + D = 0

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x₀, y₀, z₀) с вектором нормали n = <A, B, C>

A, B, C: Числа направления нормального вектора

6

Кратчайшее расстояние между линиями перекоса в 3D

d = |(a₂ - a₁)·(b₁ × b₂)||b₁ × b₂|

Вычисляет абсолютное кратчайшее расстояние между двумя непересекающимися, непараллельными трехмерными линиями r₁ = a₁ + λb₁ и r₂ = a₂ + μb₂.

a₁, a₂: Векторы положения в строках 1 и 2 b₁, b₂: Векторы направления линий 1 и 2

📊

Глава 4: Линейная алгебра и теория матриц

5 формул

Определители, обратные матрицы, правило Крамера, собственные значения, собственные векторы и теорема Кэли-Гамильтона.

1

Определитель матрицы (2×2 и 3×3)

det(A_2x2) = ad - bc, det(A_3x3) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Скалярное значение масштабирования объема при линейном преобразовании; det(A) = 0 указывает на необратимую сингулярную матрицу

det(A): Определитель матрицы A

2

Обратная матрица и формула сопряжения

A⁻¹ = (1det(A))·adj(A) = (1det(A))·(C)^T

Обратная матрица, где adj(A) — транспонированная матрица-сомножитель C.

A⁻¹: Мультипликативная обратная матрица такая, что A · A⁻¹ = I adj(A): Адъюгат / Классическая сопряженная матрица

3

Правило Крамера для линейных систем

x_i = det(A_i)det(A)

Явная алгебраическая формула для решения системы из n линейных уравнений Ax = b, где в A_i столбец i заменен на b

x_i: Компоненты вектора решения A_i: Матрица, образованная заменой i-го столбца вектором констант b

4

Собственные значения и характеристическое уравнение

det(A - λ·I) = 0, (A - λ·I)·v = 0

Корни характеристического полинома дают скалярные собственные значения λ; соответствующие ненулевые векторы v являются собственными векторами

λ: Скаляр собственных значений I: Матрица идентичности v: собственный вектор

5

Трассировка и детерминантные отношения собственных значений

tr(A) = ∑[i = 1 to n] λ_i = ∑[i = 1 to n] a_ii, det(A) = ∏[i = 1 to n] λ_i

След матрицы равен сумме собственных значений; определитель равен произведению всех собственных значений

tr(A): След матрицы (сумма главных диагональных элементов) λ_i: Набор всех собственных значений

🧭

Глава 5: Векторное исчисление и операторы поля

5 формул

Точечные и перекрестные произведения, тройные произведения, градиент, дивергенция, ротор и лапласиан.

1

Векторные точечные (скалярные) и перекрестные (векторные) произведения

u·v = |u||v|·cos(θ) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z, |u × v| = |u||v|·sin(θ)

Фундаментальные векторные произведения: скалярное произведение дает скалярную проекцию; векторное произведение дает ортогональный вектор

u·v: Скалярное произведение u × v: Векторный продукт θ: Угол между векторами

2

Тройные продукты (скалярная тройка и правило BAC-CAB)

[u v w] = u·(v × w), a × (b × c) = b·(a·c) - c·(a·b)

Скалярное тройное произведение вычисляет объем параллелепипеда; Правило BAC-CAB расширяет ассортимент продуктов двойного перекрестия

[u v w]: Объем параллелепипеда, образованного векторами u, v, w

3

Градиент скалярного поля (∇f)

∇f = (∂f∂x)·î + (∂f∂y)·ĵ + (∂f∂z)·k̂

Вектор, указывающий в направлении максимальной скорости возрастания скалярной функции f; величина равна максимальному наклону

∇f: Градиентное векторное поле f(x, y, z): Дифференцируемое скалярное поле

4

Дивергенция (∇·F) и скручивание (∇×F) векторных полей

∇·F = ∂F_x∂x+∂F_y∂y+∂F_z∂z,  ∇ × F = (∂F_z∂y-∂F_y∂z)·î + (∂F_x∂z-∂F_z∂x)·ĵ + (∂F_y∂x-∂F_x∂y)·k̂

Дивергенция измеряет плотность внешнего потока (∇·F = 0 является соленоидальным); Curl измеряет вращательную завихренность (∇×F = 0 — безвихревая)

∇·F: Скалярное поле дивергенции ∇ × F: Векторное поле скручиваемости

5

Оператор Лапласа (∇²f)

∇²f = ∇·(∇f) = ∂²f∂x² + ∂²f∂y² + ∂²f∂z²

Дифференциальный оператор второго порядка, управляющий гармоническими потенциалами, диффузией тепла и распространением волн.

∇²f: Лапласово скалярное поле (∇²f = 0 — уравнение Лапласа)

🔄

Глава 6: Интегральные теоремы со многими переменными

4 формул

Теорема Грина, теорема Стокса, теорема о расходимости Гаусса и якобианы.

1

Теорема Грина на плоскости

∮[C] (L dx + M dy) = ∬[D] (∂M∂x - ∂L∂y) dA

Связывает линейный интеграл против часовой стрелки вокруг положительно ориентированной простой замкнутой кривой C с двойным интегралом по замкнутой области D.

C: Граничная кривая ∂D D: Замкнутая 2D плоская область

2

Теорема Стокса о роторе

∮[C] F·dr = ∬[S] (∇ × F)·dS

Связывает интеграл линии циркуляции вдоль граничной кривой C с интегралом поверхностного потока ротора ∇×F по ориентируемой поверхности S.

F: Векторное поле S: Ориентированная гладкая поверхность, ограниченная кривой C

3

Теорема Гаусса о расходимости

∯[S] F·dS = ∭[V] (∇·F) dV

Внешний чистый поток векторного поля F через замкнутую поверхность S равен объемному интегралу дивергенции ∇·F во внутреннем объеме V

S: Замкнутая граничная поверхность ∂V V: Замкнутый трехмерный пространственный объем

4

Определитель Якобиана для замены координат

J = ∂(x, y)∂(u, v) = (∂x∂u)(∂y∂v) - (∂x∂v)(∂y∂u), dx dy = |J| du dv

Масштабный коэффициент площади/объема при многопараметрическом изменении переменных (полярный: J = r; сферический: J = ρ² sin φ)

J: Определитель матрицы Якобиана

🌐

Глава 7: Комплексные числа и комплексный анализ

4 формул

Формула Эйлера, теорема Муавра, аналитичность Коши-Римана и теорема Коши о вычетах

1

Комплексное полярное, модульное и эйлеровое представление

z = x + iy = r·(cos(θ) + i·sin(θ)) = r·e^(iθ), r = √x² + y², θ = tan⁻¹(yx)

Геометрическое представление комплексного числа в плоскости Аргана

r = |z|: Модуль / абсолютная величина θ: Фазовый угол главного аргумента i: Мнимая единица (i² = -1)

2

Теорема Муавра и n-ные корни из единицы

(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) = e^(inθ), z_k = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)n)

Вычисляет целые/дробные степени и симметричные корни n-й степени в комплексной плоскости.

n: Степень или корневой индекс k: Индекс корневой ветки (0, 1, ..., n-1)

3

Уравнения аналитичности Коши-Римана

∂u∂x = ∂v∂y, ∂u∂y = -(∂v∂x)

Необходимые и достаточные условия для того, чтобы комплексная функция f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) была голоморфной/комплексно-дифференцируемой

u(x, y): Действительная часть сложной функции v(x, y): Мнимая часть сложной функции

4

Интегральная формула Коши и теорема о вычетах

f(z₀) = (12πi)·∮[C] (f(z)z - z₀) dz, ∮[C] f(z) dz = 2πi·∑ Res(f, z_k)

Вычисляет контурные интегралы через вложенные особенности и вычеты Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z - z₀)f(z)

Res(f, z_k): Остаток на изолированном полюсе z_k

📈

Глава 8: Последовательности, бесконечные ряды и анализ Фурье

4 формул

Геометрические ряды и ряды AGP, разложения Тейлора и Маклорена и ряды Фурье.

1

Геометрическая прогрессия (конечная и бесконечная сумма)

S_n = a·(1 - rⁿ)1 - r, S_∞ = a1 - r (|r| < 1)

Сумма геометрической прогрессии с первым членом a и общим отношением r

a: Первый срок r: Общее соотношение S_∞: Бесконечная сумма (сходится, если |r| < 1)

2

Расширение серии Тейлор и Маклорен

f(x) = ∑[n = 0 to ∞] (fⁿ(a)n!)·(x - a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)2!)(x - a)² + ...

Представление гладкой функции в виде бесконечной полиномиальной суммы производных в точке разложения a (Маклорен, когда a = 0)

fⁿ(a): n-я производная от f, оцененная в точке a n!: Факториал (n! = n · (n - 1) · ... · 1)

3

Стандартная серия Маклорена (eˣ, sin x, cos x, ln(1+x))

eˣ = 1 + x +x²2!+x³3!+ ..., sin x = x -x³3!+x⁵5!- ..., cos x = 1 -x²2!+x⁴4!- ...

Представления бесконечных степенных рядов с бесконечным радиусом сходимости (R = ∞)

x: Действительная или комплексная переменная

4

Разложение периодической функции в ряд Фурье

f(x) = a₀2+ ∑[n = 1 to ∞] [a_n·cos(nπxL) + b_n·sin(nπxL)]

Разлагает периодический сигнал периода 2L на бесконечную сумму гармонических синусоидальных ортогональных составляющих.

a_n, b_n: Спектральные коэффициенты Фурье: a_n = (1/L) ∫[-L to L] f(x) cos(nπx/L) dx 2L: Основной период функции

⚡

Глава 9: Дифференциальные уравнения (ОДУ и УЧП)

4 формул

Интегрирующие коэффициенты первого порядка, ОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка, преобразования Лапласа и УЧП

1

Линейное ОДУ 1-го порядка (метод интегрирующих коэффициентов)

dydx + P(x)·y = Q(x) ⟹ y·e^(∫ P dx) = ∫ Q(x)·e^(∫ P dx) dx + C

Общий метод решения с использованием интегрирующего коэффициента I(x) = exp(∫P dx)

I(x): Интегрирующий коэффициент e^(∫ P dx) C: Произвольная константа интегрирования

2

Линейное однородное ОДУ 2-го порядка (характеристические корни)

a·y'' + b·y' + c·y = 0 ⟹ a·λ² + b·λ + c = 0, λ = -b ± √b² - 4ac2a

Корни определяют форму решения: различные вещественные (C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x), повторяющиеся ((C₁ + C₂x)e^λx), комплексные α±iβ (e^αx(C₁cos βx + C₂sin βx))

λ: Корни характеристического уравнения C₁, C₂: Константы граничного/начального условия

3

Преобразование Лапласа и производное свойство

L{f(t)} = F(s) = ∫∞0 e^(-st)·f(t) dt, L{f'(t)} = s·F(s) - f(0)

Преобразует линейные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения в комплексной частотной s-области.

F(s): Функция s-домена Лапласа s: Комплексный частотный параметр (σ + iω)

4

Классические дифференциальные уравнения в частных производных (волна, тепло, Лаплас)

Wave: ∂²u∂t² = c²·(∂²u∂x²);   Heat: ∂u∂t = α·(∂²u∂x²);   Laplace: ∂²u∂x² + ∂²u∂y² = 0

Три фундаментальных линейных уравнения в частных производных второго порядка, управляющих физикой и техникой

c: Скорость распространения волны α: Константа температуропроводности

🎲

Глава 10: Вероятность и статистические распределения

5 формул

Теорема Байеса, математическое ожидание, дисперсия, биномиальное, пуассоновское и нормальное распределения Гаусса.

1

Теорема Байеса и закон полной вероятности

P(A | B) = P(B | A)·P(A)P(B) = P(B | A)·P(A)∑ P(B | A_i)·P(A_i)

Вычисляет апостериорную вероятность P(A|B) с учетом априорной вероятности P(A) и условного правдоподобия P(B|A).

P(A | B): Апостериорная вероятность события A при условии, что произошло событие B P(A): Априорная вероятность A P(B | A): Вероятность B при условии A

2

Соотношения ожидаемого значения и дисперсии

E[X] = ∑ x_i·P(x_i), Var(X) = E[X²] - (E[X])² = σ², SD(X) = σ = √Var(X)

Первый и второй центральные моменты, измеряющие средний центр и дисперсию вокруг среднего значения.

E[X]: Математическое ожидание / среднее значение совокупности (μ) Var(X): Дисперсия населения (σ²) σ: Стандартное отклонение

3

Биномиальное распределение вероятностей

P(X = k) = (n!k!(n - k)!)·pᵏ·(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, μ = n·p, σ² = n·p·(1 - p)

Вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p

n: Всего независимых исследований k: Количество успехов p: Вероятность успеха за испытание

4

Распределение вероятностей Пуассона

P(X = k) = λᵏ·e^(-λ)k!, μ = λ, σ² = λ

Моделирует возникновение редких дискретных событий в фиксированном интервале времени/пространства с постоянной средней частотой λ.

λ: Параметр средней частоты встречаемости (λ > 0) k: Количество событий (0, 1, 2...)

5

Гауссово нормальное распределение и Z-оценка

f(x) = (1σ·√2π)·e^(-(x - μ)²2σ²), Z = X - μσ

Непрерывная симметричная колоколообразная функция плотности вероятности, определяющая Центральную предельную теорему

μ: Средний центр распределения σ: Параметр разброса стандартного отклонения Z: Стандартизированный Z-показатель (безразмерное расстояние от среднего значения в единицах σ)

⚛️

Полный справочник по физике

Кинематика, законы Ньютона, вращение, гравитация, термодинамика, уравнения Максвелла, оптика и квантовая физика.

158+ уравнений

🏃

Глава 1: Кинематика и 1D/2D-движение

13 формул

Уравнения движения, смещения, средней и мгновенной скорости, ускорения и траектории снаряда.

1

Средняя скорость

v_avg = ΔxΔt = x_f - x_it_f - t_i

Отношение общего перемещения к общему затраченному интервалу времени

v_avg: Средняя скорость Δx: Смещение Δt: Прошло время

2

Мгновенная скорость

v = dxdt = lim[Δt→0] (ΔxΔt)

Первая производная по времени вектора координат положения по времени

v: Мгновенная скорость x(t): Позиционная функция времени

3

Мгновенное ускорение

a = dvdt = d²xdt² = v·(dvdx)

Скорость изменения скорости относительно времени или положения

a: Ускорение v: Скорость

4

SUVAT 1-е уравнение движения (скорость-время)

v = u + a·t

Связывает конечную скорость с начальной скоростью при равномерном ускорении a.

v: Конечная скорость u: Начальная скорость a: Постоянное ускорение t: Прошло время

5

SUVAT 2-е уравнение движения (перемещение-время)

s = u·t + ½·a·t²

Вычисляет общее линейное смещение при постоянном ускорении.

s: Смещение u: Начальная скорость a: Постоянное ускорение t: Прошло время

6

SUVAT 3-е уравнение движения (скорость-перемещение)

v² = u² + 2·a·s

Независимая от времени кинематическая связь для постоянного ускорения

v: Конечная скорость u: Начальная скорость a: Постоянное ускорение s: Смещение

7

Перемещение за n-ю секунду

s_n = u + (a2)·(2n - 1)

Рассчитывает смещение конкретно за n-ю секунду движения.

s_n: Перемещение за n-ю секунду n: Второе число (n = 1, 2, 3...)

8

Перемещение с использованием средней скорости

s = ½·(u + v)·t

Действительно для движения с равномерным постоянным линейным ускорением.

s: Смещение u, v: Начальная и конечная скорости

9

Максимальная высота снаряда

H_max = u²·sin²θ2g

Пиковая вертикальная высота, достигнутая снарядом, выпущенным под углом θ.

u: Начальная скорость запуска θ: Угол запуска по горизонтали g: Гравитационное ускорение (9,81 м/с²)

10

Общее время полета снаряда

T = 2u·sinθg

Общее время полета от старта до приземления на ровную землю

T: Общее время полета u: Начальная скорость запуска

11

Горизонтальная дальность снаряда

R = u²·sin(2θ)g

Максимальное пройденное расстояние по горизонтали (максимум при угле запуска θ = 45°)

R: Горизонтальный диапазон u: Скорость запуска θ: Угол проекции

12

Уравнение параболической траектории снаряда

y = x·tanθ -g·x²2u²·cos²θ = x·tanθ·(1 -xR)

Декартовы координаты пути (x, y), демонстрирующие чисто параболическое движение.

(x, y): Мгновенные координаты положения R: Горизонтальный диапазон

13

Вектор относительной скорости

v_(AB) = v_A - v_B, v_(AB) = √v_A² + v_B² - 2v_A·v_B·cosθ

Скорость тела А, наблюдаемая из системы отсчета движущегося тела В

v_(AB): Относительная скорость A относительно B θ: Угол между векторами скорости

⚖️

Глава 2: Законы движения, трения и круговой динамики

12 формул

Три закона Ньютона: линейный импульс, импульс, статическое/кинетическое трение, центростремительная сила и углы крена.

1

Линейный импульс

p = m·v

Произведение массы и скорости; сохраняется в изолированных системах с нулевой внешней силой

p: Линейный импульс m: Масса v: Скорость

2

Второй закон движения Ньютона

F_net = dpdt = m·a (for constant mass)

Чистая внешняя сила равна мгновенной скорости изменения линейного импульса.

F_net: Чистая результирующая сила m: Инерционная масса a: Ускорение

3

Теорема об импульсе-импульсе

J = ∫ F dt = F_avg·Δt = Δp = m·v_f - m·v_i

Импульс силы за время Δt равен общему изменению произведенного импульса.

J: Импульс F_avg: Средняя сила удара Δp: Изменение линейного импульса

4

Максимальное статическое предельное трение

f_s(max) = μ_s·N

Саморегулирующаяся сила сопротивления, противодействующая тенденции относительного движения до порогового значения.

f_s: Статическая сила трения μ_s: Коэффициент статического трения (безразмерный) N: Контактная сила нормальной реакции

5

Кинетическое/скользящее трение

f_k = μ_k·N

Постоянная сила сопротивления, противодействующая активному относительному скользящему движению (обычно µ_k < µ_s)

f_k: Кинетическая сила трения μ_k: Коэффициент кинетического трения N: Нормальная сила

6

Угол трения и угол покоя

tan(θ_repose) = μ_s, tan(λ) = f_s(max)N = μ_s

Минимальный угол наклона, при котором тело начинает скользить вниз под действием силы тяжести.

θ_repose: Угол откоса μ_s: Коэффициент статического трения

7

Центростремительное ускорение

a_c = v²r = ω²·r = v·ω = 4π²·rT²

Радиально направленное внутрь ускорение для круговой траектории радиуса r

a_c: Центростремительное ускорение v: Тангенциальная линейная скорость ω: Угловая скорость r: Радиус кривизны

8

Центростремительная сила

F_c = m·v²r = m·ω²·r

Чистая внутренняя сила, необходимая для поддержания движения по круговой траектории.

F_c: Центростремительная сила m: Масса объекта r: Радиус орбиты/поворота

9

Оптимальная безопасная скорость на изогнутой дороге с наклоном

v_opt = √r·g·tanθ

Скорость, с которой автомобиль проходит поворот с нулевым износом от бокового трения.

v_opt: Идеальная банковская скорость θ: Угол подъема крена r: Радиус круговой кривой

10

Максимальная безопасная скорость на накрененной дороге с трением

v_max = √[r·g·(μ_s + tanθ)1 - μ_s·tanθ ]

Верхний предел скорости до возникновения заноса наружу на накрененной поверхности с трением

v_max: Максимальная скорость поворота μ_s: Статический коэффициент сцепления с дорогой

11

Период времени конического маятника

T = 2π·√L·cosθg, Tension: T_string = m·gcosθ

Период качания, описывающий горизонтальный круг с углом конуса θ и длиной струны L.

T: Период революции L: Длина строки θ: Полувертикальный угол с вертикальным

12

Критические скорости вертикального кругового движения

v_bottom ≥ √5gr, v_top ≥ √gr, T_bottom - T_top = 6mg

Минимальные пороговые скорости для выполнения вертикальной петли без ослабления струны

r: Радиус вертикальной петли T_bottom, T_top: Натяжение струн в самых низких и самых высоких точках

⚡

Глава 3: Работа, энергия, мощность и столкновения

11 формул

Теорема о работе-энергии, кинетическая/потенциальная энергия, упругость пружины, консервативные силы, мощность и упругие/неупругие столкновения.

1

Работа, совершаемая постоянной силой

W = F·d·cosθ = F·d

Скалярное скалярное произведение вектора силы и вектора смещения

W: Механические работы выполнены F: Величина приложенной силы d: Смещение θ: Угол между силой и перемещением

2

Работа, совершаемая переменной силой (интегральной)

W = ∫x_fx_i F(x) dx

Область под графиком «Сила-Смещение» между начальным и конечным положениями

F(x): Силовая функция, зависящая от положения dx: Бесконечно малый элемент смещения

3

Теорема о работе-энергии

W_net = ΔK = K_f - K_i = ½m·v_f² - ½m·v_i²

Чистая работа, совершаемая всеми силами (консервативными, неконсервативными, внешними), равна изменению кинетической энергии.

W_net: Чистая работа выполнена ΔK: Изменение кинетической энергии

4

Кинетическая энергия (связь с импульсом)

K = ½·m·v² = p²2m, p = √2m·K

Энергия, которой обладает тело вследствие своего состояния движения

K: Кинетическая энергия p: Линейный импульс m: Масса

5

Гравитационная потенциальная энергия (околоземная)

U_g = m·g·h

Потенциальная энергия, запасенная в массе m, поднятой на вертикальную высоту h в однородном поле g

U_g: Гравитационная потенциальная энергия m: Масса h: Высота над исходной точкой отсчета

6

Упругая потенциальная энергия пружины (закон Гука)

U_s = ½·k·x², F_spring = -k·x

Энергия, запасаемая, когда пружина с константой жесткости k растягивается/сжимается на x.

U_s: Потенциальная энергия весны k: Постоянная жесткости пружины x: Смещение от равновесного удлинения

7

Консервативная сила как отрицательный потенциальный градиент

F = -dUdx, F_vec = -∇U = -(∂U∂x i + ∂U∂y j + ∂U∂z k)

Консервативные силы всегда указывают в сторону наибольшего уменьшения потенциальной энергии.

U: Скалярное поле потенциальной энергии ∇U: Градиент потенциальной энергии

8

Механическая мощность (средняя и мгновенная)

P = dWdt = F·v·cosθ = F·v

Скорость времени, с которой выполняется механическая работа или передается энергия

P: Власть F: Сила v: Скорость

9

Коэффициент восстановления (столкновений)

e = v₂ - v₁u₁ - u₂ = Relative velocity of separationRelative velocity of approach

Измеряет эластичность: e=1 (сохраняемая кинетическая энергия), e=0 (объекты слипаются).

u₁, u₂: Скорости до столкновения v₁, v₂: Скорости после столкновения e: Коэффициент реституции (0 ≤ e ≤ 1)

10

Конечные скорости при одномерном упругом столкновении

v₁ = [m₁ - m₂m₁ + m₂]·u₁ + [2m₂m₁ + m₂]·u₂,  v₂ = [2m₁m₁ + m₂]·u₁ + [m₂ - m₁m₁ + m₂]·u₂

Точные скорости после столкновения двух масс, упруго сталкивающихся в одном измерении.

m₁, m₂: Массы сталкивающихся тел u₁, u₂: Начальные скорости v₁, v₂: Конечная скорость после столкновения

11

Потери кинетической энергии при неупругом столкновении.

ΔK_loss = ½·[m₁·m₂m₁ + m₂ ]·(u₁ - u₂)²·(1 - e²)

Кинетическая энергия преобразуется во внутреннюю тепловую деформацию и акустическую энергию.

ΔK_loss: Потерянная кинетическая энергия e: Коэффициент реституции

🔄

Глава 4: Вращательное движение и момент инерции

11 формул

Крутящий момент, угловой момент, кинематика вращения, теоремы о параллельных/перпендикулярных осях и динамика качения.

1

Координаты центра масс

r_cm = ∑ m_i·r_i∑ m_i = (1M) ∫ r dm

Среднее положение распределения массы дискретных или сплошных твердых тел

r_cm: Вектор положения центра масс M: Общая масса системы (∑ m_i)

2

Уравнения кинематики вращения

ω = ω₀ + α·t, θ = ω₀·t + ½α·t², ω² = ω₀² + 2α·θ

Вращательные эквиваленты SUVAT для постоянного углового ускорения α

θ: Угловое смещение ω₀, ω: Начальная и конечная угловая скорость α: Угловое ускорение t: Время

3

Крутящий момент (момент силы)

τ = r × F = r·F·sinθ = I·α = dLdt

Вращательный эквивалент линейной силы, вызывающей угловое ускорение α

τ: Крутящий момент r: Расстояние рычага моментного рычага I: Момент инерции α: Угловое ускорение

4

Угловой момент и сохранение

L = r × p = I·ω, τ_net = 0 ⟹ L = const

Сохраняется, когда чистый внешний крутящий момент, действующий на систему, равен нулю (например, фигурист).

L: Угловой момент I: Момент инерции ω: Угловая скорость

5

Теорема о параллельной оси (Штайнер)

I = I_cm + M·d²

Момент инерции относительно любой оси, параллельной центроидальной оси, отстоящей на расстояние d

I: Момент инерции относительно параллельной оси цели I_cm: Момент инерции через центр масс M: Общая масса тела d: Перпендикулярное расстояние между осями

6

Теорема о перпендикулярной оси (плоские пластины)

I_z = I_x + I_y

Применяется исключительно к 2D плоским телам, лежащим в плоскости xy.

I_z: Момент инерции относительно нормальной оси Z I_x, I_y: Моменты инерции относительно плоскостных осей x и y

7

Радиус вращения

k = √IM, I = M·k²

Эффективное радиальное расстояние, на котором можно сконцентрировать всю массу без изменения I

k: Радиус вращения I: Момент инерции M: Масса

8

Вращательная кинетическая энергия

K_rot = ½·I·ω²

Кинетическая энергия, связанная исключительно с вращением вокруг неподвижной или движущейся оси.

K_rot: Вращательная кинетическая энергия I: Момент инерции ω: Угловая скорость

9

Полная кинетическая энергия при чистом движении качения

K_total = K_trans + K_rot = ½M·v_cm² + ½I_cm·ω² = ½M·v_cm²·(1 +k²R²)

Комбинированная поступательная и вращательная кинетическая энергия для чистого качения без проскальзывания (v_cm = ωR)

K_total: Общая энергия прокатки v_cm: Скорость центра масс k: Радиус вращения R: Внешний радиус

10

Ускорение скатывания тела вниз по склону

a = g·sinθ1 + I_cmM·R² = g·sinθ1 +k²R²

Линейное ускорение вниз по наклонной плоскости с наклоном θ (Твердая сфера > Диск > Кольцо)

a: Линейное ускорение прокатки θ: Угол наклона

11

Стандартные моменты инерции

Thin Rod: 112 ML², Ring: MR², Solid Disc: ½MR²,Solid Sphere: 25 MR²,Hollow Sphere: 23 MR²

Центроидальные моменты инерции стандартных однородных геометрических тел.

M: Масса R, L: Радиус/Длина

🪐

Глава 5: Универсальная гравитация и орбитальная механика

10 формул

Универсальный закон гравитации Ньютона, гравитационный потенциал, космическая скорость, орбитальная скорость, законы Кеплера и орбиты спутников.

1

Закон всемирного тяготения Ньютона

F = G·(M·m)r²

Притяжение обратного квадрата между любыми двумя точечными массами, разделенными расстоянием r

G: Универсальная гравитационная постоянная (6,6743 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг²) M, m: Взаимодействующие точечные массы r: Разделение между центрами

2

Поверхностное гравитационное ускорение

g = G·MR² = (43)·π·G·ρ·R

Ускорение свободного падения на поверхности планетарной сферы массы M и радиуса R.

g: Поверхностная гравитация (Земля ~ 9,81 м/с²) M: Масса планеты R: Радиус планеты ρ: Средняя плотность

3

Изменение силы тяжести с высотой h

g_h = g·(RR + h)² ≈ g·(1 -2hR) [for h ≪ R]

Уменьшение гравитационного ускорения с высотой h над поверхностью планеты.

g_h: Гравитация на высоте h h: Высота над землей R: Радиус Земли (~ 6371 км)

4

Изменение силы тяжести с глубиной d

g_d = g·(1 -dR)

Линейное уменьшение гравитационного ускорения внутри Земли (становится равным нулю в центре d = R)

g_d: Гравитация на глубине d d: Глубина под землей

5

Гравитационная потенциальная энергия (универсальная)

U(r) = -G·M·mr

Отрицательная энергия связанного состояния с эталонным нулем при бесконечном расстоянии r → ∞

U(r): Гравитационная потенциальная энергия r: Расстояние от центра

6

Гравитационный потенциал V(r)

V(r) = -G·Mr, E_g = -dVdr

Работа, проделанная по переносу единичной тестовой массы от бесконечности до расстояния r.

V(r): Гравитационный потенциал

7

Скорость побега

v_esc = √2G·MR = √2g·R

Минимальная начальная скорость, необходимая для того, чтобы снаряд без двигателя покинул планетарную гравитацию (~ 11,2 км / с для Земли)

v_esc: Скорость побега M: Масса планеты R: Радиус планеты

8

Орбитальная скорость спутника

v_orb = √G·MR + h = v_esc√2 (near surface)

Круговая скорость, необходимая для стабильной орбиты вокруг планеты (~ 7,92 км/с у поверхности Земли)

v_orb: Орбитальная скорость h: Высота орбиты над поверхностью

9

Период обращения спутника на орбите

T = 2π·(R + h)^(32)√GM = 2π·√r³GM

Время, необходимое спутнику для совершения одного полного оборота (24 часа для геостационарной орбиты с высотой ~ 35 786 км).

T: Орбитальный период r: Радиус орбиты (R + h)

10

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

T²a³ = 4π²G·M = const

Квадрат периода обращения строго пропорционален кубу большой полуоси a.

T: Орбитальный период a: Большая полуось орбиты

🧱

Глава 6: Механические свойства твердых тел и эластичность

5 формул

Закон Гука, напряжение, деформация, модуль Юнга, модуль объемного сжатия, модуль сдвига, коэффициент Пуассона и плотность упругой энергии.

1

Закон Гука и модуль Юнга

Stress = Y·Strain ⟹ FA = Y·(ΔLL)

Линейная зависимость между напряжением растяжения/сжатия и продольной деформацией в пределах предела упругости

Y: Модуль упругости Юнга σ = FA: Стресс ε = ΔLL: Продольная деформация (безразмерная) ΔL: Удлинение/сжатие

2

Объемный модуль и сжимаемость

B = - V·(ΔPΔV), K = 1B

Сопротивление вещества равномерному объемному сжатию под действием гидростатического давления ΔP

B: Объемный модуль K: Сжимаемость ΔP: Прикладное увеличение гидростатического давления ΔVV: Объемная фракционная деформация

3

Модуль сдвига (модуль жесткости)

G = η = FAθ = F·LA·Δx

Устойчивость к угловой тангенциальной сдвиговой деформации θ без изменения объема

G or η: Модуль сдвига / жесткость θ: Искажение угла сдвига Δx: Боковое верхнее смещение

4

Коэффициент Пуассона

ν = -Lateral StrainLongitudinal Strain = -ΔddΔLL

Отношение поперечного сжатия к продольному расширению (теоретические пределы: -1 < ν < 0,5; практические: от 0 до 0,5)

ν: Коэффициент Пуассона (безразмерный) d: Поперечный диаметр/толщина L: Длина

5

Плотность энергии упругой деформации

u = ½·Stress·Strain = ½·Y·(Strain)² = (Stress)²2Y

Упругая потенциальная энергия, запасенная в единице объема деформированного упругого материала

u: Плотность энергии деформации U_total: Полная энергия деформации = u × Объем

💧

Глава 7: Механика жидкости, гидростатика и вязкость

10 формул

Гидростатическое давление, плавучесть Архимеда, уравнение неразрывности, теорема Бернулли, истечение Торричелли, закон Стокса, конечная скорость и поверхностное натяжение.

1

Гидростатическое давление с глубиной

P = P₀ + ρ·g·h

Полное абсолютное давление на глубине h в статической жидкости плотностью ρ

P: Абсолютное давление на глубине P₀: Атмосферное давление (101325 Па) ρ: Плотность жидкости h: Столбец глубины ниже поверхности жидкости

2

Принцип Паскаля (гидравлический подъемник)

P₁ = P₂ ⟹ F₁A₁ = F₂A₂

Давление, приложенное к замкнутой несжимаемой жидкости, передается в неизменном виде одинаково

F₁, F₂: Силы на входном и выходном поршнях A₁, A₂: Площадь поперечного сечения поверхности поршня

3

Принцип плавучести Архимеда

F_B = ρ_fluid·V_submerged·g = Weight of displaced fluid

Восходящая выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной погружаемым объектом.

F_B: Выталкивающая сила ρ_fluid: Плотность жидкой среды V_sub: Объем погруженного объекта

4

Уравнение непрерывности (сохранения массы)

A₁·v₁ = A₂·v₂ = dVdt = Q (Flow Rate)

При установившемся потоке несжимаемой жидкости объемный расход Q остается постоянным.

A₁, A₂: Площадь поперечного сечения трубы v₁, v₂: Скорости потока жидкости Q: Объемный расход нагнетания

5

Теорема Бернулли (сохранение энергии)

P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = constant

Сумма статического давления, динамического кинетического давления и гидростатического потенциала постоянна вдоль линии тока.

P: Статическое давление жидкости ½ρv²: Динамический напор ρgh: Гравитационное потенциальное давление

6

Закон Торричелли о скорости истечения

v_efflux = √2·g·h

Скорость жидкости, вытекающей из небольшого отверстия резервуара на глубине h ниже открытой поверхности.

v_efflux: Скорость истечения h: Глубина отверстия ниже уровня жидкости

7

Закон вязкого сопротивления Стокса

F_v = 6π·η·r·v

Замедляющая вязкая сила сопротивления, испытываемая небольшой сферой, движущейся через ламинарную жидкость.

F_v: Вязкая сила сопротивления η: Коэффициент динамической вязкости r: Радиус сферы v: Скорость через жидкость

8

Конечная скорость падающей сферы

v_t = 2·r²·(ρ - σ)·g9η

Устойчивая постоянная скорость достигается, когда сила тяжести равна выталкивающей силе + вязкому сопротивлению.

v_t: Конечная скорость ρ: Плотность сферы σ: Плотность окружающей жидкости η: Динамическая вязкость жидкости

9

Избыточное давление в капле и пузыре

ΔP_drop = 2TR, ΔP_bubble = 4TR

Избыточное внутреннее давление Юнга-Лапласа: мыльный пузырь имеет две свободные границы раздела жидкость-воздух.

T: Коэффициент поверхностного натяжения R: Радиус кривизны капли/пузыря ΔP: Превышение внутреннего давления над окружающим

10

Капиллярный подъем/депрессия (закон Юрина)

h = 2T·cosθρ·g·r

По высоте жидкость поднимается в узком капилляре радиуса r с углом смачивания θ.

h: Высота подъема капиллярной колонки θ: Угол контакта мениска жидкость-твердое тело r: Внутренний радиус капиллярной трубки

🌡️

Глава 8: Теплофизика и кинетическая теория газов

7 формул

Тепловое расширение, калориметрия, закон идеального газа, давление по кинетической теории, молекулярные скорости (RMS/avg/mp) и молярная теплоемкость.

1

Тепловое расширение (линейное, поверхностное, объемное)

ΔL = α·L₀·ΔT, ΔA = 2α·A₀·ΔT, ΔV = 3α·V₀·ΔT = γ·V₀·ΔT

Дробное размерное расширение, пропорциональное повышению температуры ΔT (β = 2α, γ = 3α)

α: Коэффициент линейного теплового расширения ΔT: Изменение температуры (T_f - T_i)

2

Явное тепло и скрытое тепло фазового перехода

Q = m·c·ΔT, Q_phase = m·L

Тепло, необходимое для повышения температуры или осуществления изотермического фазового перехода твердое тело/жидкость/газ.

Q: Тепловая энергия поглощается или выделяется c: Удельная теплоемкость (вода: 4186 Дж/кг·К) L: Удельная скрытая теплота (плавление/испарение)

3

Уравнение состояния идеального газа

P·V = n·R·T = N·k_B·T

Определяющее уравнение, связывающее давление, объем, температуру и количество идеального газа.

P: Абсолютное давление V: Объем n: Количество родинок R: Универсальная газовая постоянная (8,31446 Дж/(моль·К)) k_B: Постоянная Больцмана (1,38065 × 10⁻²³ Дж/К) T: Абсолютная температура

4

Кинетическая теория давления газа

P = ⅓·ρ·v_rms² = ⅓·(N·mV)·v_rms²

Микроскопический статистический вывод макроскопического давления газа из столкновений импульсов молекул

ρ: Плотность газа (M_total/V) v_rms: Среднеквадратическая молекулярная скорость

5

Среднеквадратичные, средние и наиболее вероятные скорости газа

v_rms = √3RTM, v_avg = √8RTπM, v_mp = √2RTM

Характеристические скорости распределения молекулярных скоростей Максвелла-Больцмана (v_rms > v_avg > v_mp)

M: Молярная масса газа T: Абсолютная температура

6

Внутренняя энергия и степени свободы

U = (f2)·n·R·T, E_k(per molecule) = (f2)·k_B·T

Теорема о равнораспределении: каждая квадратичная степень свободы f вносит вклад ½ k_B T на молекулу.

f: Степени свободы (моно=3, диаметр=5, поли=6) U: Общая внутренняя тепловая энергия

7

Соотношение Майера и коэффициент теплоемкости γ

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v = 1 + (2f)

Связь между молярными теплоемкостями при постоянном давлении (C_p) и постоянном объеме (C_v)

C_p, C_v: Молярная теплоемкость γ: Индекс адиабаты/коэффициент Пуассона (моно=1,67, диаметр=1,40)

🔥

Глава 9: Термодинамика и теплопередача

10 формул

Первый закон термодинамики, термодинамические рабочие процессы (изотермический, адиабатический, изобарный, изохорный), КПД двигателя Карно, закон Стефана-Больцмана и смещение Вина.

1

Первый закон термодинамики

ΔU = Q - W ⟹ Q = ΔU + W, W = ∫ P dV

Сохранение энергии для термодинамических систем (Q в системе, W работа, совершаемая системой)

ΔU: Изменение внутренней энергии (n C_v ΔT) Q: В систему добавлено тепло W: Работы, выполняемые по расширению системы

2

Работа, совершаемая в изотермическом процессе (T = const, ΔU = 0)

W_iso = n·R·T·ln(V_fV_i) = n·R·T·ln(P_iP_f)

Квазистатическое обратимое расширение/сжатие при строго постоянной температуре.

W_iso: Изотермическая работа совершена V_i, V_f: Начальный и конечный тома

3

Адиабатический процесс и проделанная работа (Q = 0, PV^γ = const)

P·V^γ = const, W_adi = P_i·V_i - P_f·V_fγ - 1 = n·R·(T_i - T_f)γ - 1

Обратимый процесс с нулевым теплообменом с окружающей средой (T V^(γ-1) = const)

W_adi: Адиабатическая работа γ: Коэффициент теплоемкости (C_p / C_v)

4

Изобарная (P = const) и изохорная (V = const) работа

W_isobaric = P·ΔV = n·R·ΔT, W_isochoric = 0 (since dV = 0)

При постоянном давлении работа имеет площадь прямоугольного сечения PΔV; при постоянном объеме совершается нулевая работа

P: Постоянное давление ΔV: Изменение громкости

5

Максимальная эффективность теплового двигателя Карно

η = W_outQ_in = 1 - (Q_CQ_H) = 1 - (T_CT_H)

Теоретический верхний термодинамический предел эффективности при работе в диапазоне температур T_H и T_C.

η: Термический КПД (0 ≤ η < 1) T_H: Температура горячего пласта T_C: Температура резервуара с холодным стоком

6

Коэффициент полезного действия (холодильник/тепловой насос)

COP_ref = Q_CW = T_CT_H - T_C, COP_hp = Q_HW = T_HT_H - T_C

Выходная энергия охлаждения или нагрева, подаваемая на единицу работы механического компрессора

COP: Коэффициент производительности W: Требуется работа

7

Теплопроводность (Закон Фурье)

dQdt = k·A·(T_H - T_C)L

Скорость установившейся теплопроводности по пластине теплопроводностью k и толщиной L

dQdt: Скорость теплопередачи k: Теплопроводность A: Площадь поперечного сечения проводимости L: Толщина сляба

8

Закон теплового излучения Стефана-Больцмана

P = e·σ·A·(T⁴ - T₀⁴)

Чистая мощность излучения, излучаемая серым телом с излучательной способностью e в окружающую среду при T₀

P: Излучаемая мощность σ: Постоянная Стефана-Больцмана (5,67037 × 10⁻⁸ Вт/(м²·К⁴)) e: Излучательная способность поверхности (0 < e ≤ 1, черное тело = 1) T: Абсолютная температура поверхности

9

Закон смещения Вина (пиковая длина волны)

λ_max·T = b = 2.89777 × 10⁻³ m·K

Пиковая длина волны излучения спектра черного тела обратно пропорциональна абсолютной температуре.

λ_max: Длина волны пикового спектрального излучения T: Абсолютная температура b: Константа смещения Вина

10

Закон охлаждения Ньютона

dTdt = -k·(T - T_env) ⟹ T(t) = T_env + (T₀ - T_env)·e^(-kt)

Скорость потерь тепла за счет конвекции/излучения пропорциональна превышению температуры над окружающей средой.

T(t): Температура во время t T_env: Окружающая температура k: Константа скорости охлаждения

⏳

Глава 10: Простые гармонические движения и колебания

8 формул

Кинематика ГИМ, простой маятник, системы пружина-масса, последовательные/параллельные пружины, физический маятник, полная энергия и затухающие колебания.

1

Перемещение, скорость и ускорение в SHM

x = A·sin(ωt + φ), v = dxdt = ω·√A² - x², a = d²xdt² = -ω²·x

Фундаментальная кинематика линейной ШМ с определяющим условием восстановления a ∝ -x

A: Амплитуда ω = 2πf: Угловая частота φ: Угол начальной фазы эпохи x: Мгновенное перемещение

2

Период времени простого маятника (малые углы)

T = 2π·√Lg, f = (12π)·√gL

Период маятника длины L в однородном гравитационном поле g (независимо от массы боба m)

T: Период времени колебаний L: Эффективная длина маятника g: Ускорение из-за силы тяжести

3

Период времени осциллятора пружинной массы

T = 2π·√mk, ω = √km

Период колебаний массы m блока на горизонтальной или вертикальной бесфрикционной пружине жесткости k

T: Период колебаний m: Колеблющаяся масса k: Пружинная константа

4

Пружинные комбинации (последовательные и параллельные)

1k_series = 1k₁+1k₂, k_parallel = k₁ + k₂

Эквивалентная жесткость пружины для нескольких соединенных последовательно или параллельно пружин

k_s, k_p: Эквивалентные пружинные константы

5

Физический (сложный) период маятника

T = 2π·√Im·g·d = 2π·√k_g² + d²g·d

Колебания произвольного твердого тела, повернутого на расстоянии d от центра масс.

I: Момент инерции относительно оси поворота подвески d: Расстояние от оси подвески до центра масс

6

Период крутильного маятника

T = 2π·√Iκ, τ = -κ·θ

Вращательные колебания диска, опирающегося на проволоку с постоянной крутильной жесткости κ

I: Момент инерции относительно оси кручения проволоки κ: Постоянная крутильной пружины (восстановление крутящего момента на радиан)

7

Полная механическая энергия в SHM

E = K + U = ½m·v² + ½k·x² = ½k·A² = ½m·ω²·A²

Полная механическая энергия остается строго постоянной, чередуя кинетическую и потенциальную формы.

E: Полная постоянная механическая энергия A: Амплитуда колебаний

8

Затухающий гармонический генератор

x(t) = A₀·e^(-γt)·cos(ω't + φ), ω' = √ω₀² - γ², γ = b2m

Амплитуда экспоненциально затухает с коэффициентом затухания γ под воздействием вязкого сопротивления F = -bv.

b: Коэффициент вязкостного демпфирования γ: Коэффициент демпфирования (б/2м) ω': Затухающая угловая частота

🔊

Глава 11: Волновое движение, звук и акустика

9 формул

Волновое уравнение, скорость волны на струнах, скорость звука в жидкостях/газах, шкала интенсивности в децибелах, стоячие волны в трубах/струнах, биения и эффект Доплера.

1

Уравнение гармонической бегущей волны

y(x, t) = A·sin(k·x ∓ ω·t + φ), k = 2πλ, ω = 2π·f

Поперечное или продольное перемещение среды по координате x и времени t (- для направления +x)

y(x,t): Смещение волны A: Амплитуда волны k: Угловое волновое число λ: Длина волны f: Частота

2

Соотношение скорости волны

v = f·λ = ωk = λT

Фундаментальное соотношение скоростей, связывающее пространственную длину волны и временную частоту.

v: Скорость распространения волны f: Частота λ: Длина волны

3

Скорость поперечной волны на натянутой струне

v = √T_tensionμ, μ = mL (Linear mass density)

Скорость распространения по натянутой струне, определяемая натяжением T и массой на единицу длины μ.

v: Скорость поперечной волны T_tension: Механическое натяжение струны μ: Линейная массовая плотность

4

Скорость звука в идеальном газе (формула Лапласа)

v_sound = √γ·Pρ = √γ·R·TM

Скорость адиабатической акустической волны в газе при температуре Т (~343 м/с в воздухе при 20°С)

v_sound: Акустическая скорость звука γ: Индекс адиабаты (1,40 для двухатомного воздуха) M: Молярная масса газа (0,029 кг/моль для воздуха)

5

Уровень интенсивности звука (шкала в децибелах)

β = 10·log₁₀(II₀), I₀ = 10⁻¹² Wm²

Логарифмическая шкала децибел относительно порога человеческого слуха I₀

β: Уровень интенсивности звука I: Акустическая интенсивность звука I₀: Порог слышимости (10⁻¹² Вт/м²)

6

Стоячие волны (фиксированная струна и открытая труба)

f_n = n·(v2L) = n·f₁ (n = 1, 2, 3, 4...)

Гармонические частоты для струны, закрепленной на обоих концах, или органной трубы, открытой с обоих концов (присутствуют все гармоники)

f_n: Частота n-й гармоники L: Длина струны/трубы n: Гармонический целочисленный порядок

7

Стоячие волны в трубе, закрытой с одного конца

f_n = (2n - 1)·(v4L) (n = 1, 2, 3... ⟹ 1f₁, 3f₁, 5f₁...)

Резонансные частоты в закрытой с одного конца трубе (поддерживаются только нечетные гармоники: 1-я, 3-я, 5-я...)

f_n: Резонансная акустическая частота L: Длина трубы

8

Частота ударов

f_beat = |f₁ - f₂|

Периодическая конструктивная/деструктивная модуляция интенсивности при наложении двух волн близких частот.

f_beat: Частота модуляции ударов f₁, f₂: Частоты двух накладывающихся источников

9

Эффект Доплера для звуковых волн

f' = f·[v ± v_observerv ∓ v_source ]

Кажущаяся частота смещена из-за относительного движения наблюдателя (v_o) и источника (v_s) через среду.

f': Наблюдаемая кажущаяся частота f: Истинная излучаемая частота источника v: Скорость звука в среде v_o, v_s: Скорости наблюдателя и источника (+ в сторону, - в сторону)

⚡

Глава 12: Электростатика и емкость

11 формул

Закон Кулона, электрическое поле, электрический потенциал, электрический диполь, закон Гаусса, емкость, последовательно-параллельные конденсаторы и плотность энергии поля.

1

Закон электростатической силы Кулона

F = (14πε₀)·(|q₁·q₂|r²) = k_e·(|q₁·q₂|r²)

Электростатическое притяжение или отталкивание между двумя неподвижными точечными зарядами, обратное квадрату.

k_e = 14πε₀: Постоянная Кулона (~8,98755 × 10⁹ Н·м²/К²) ε₀: Диэлектрическая проницаемость свободного пространства (8,85419 × 10⁻¹² К²/(Н·м²)) q₁, q₂: Величины электрического заряда r: Расстояние разделения

2

Электрическое поле точечного заряда

E = Fq₀ = (14πε₀)·(qr²)·r̂

Сила, действующая на единицу положительного пробного заряда q₀, помещенного в электрическое поле.

E: Напряженность электрического поля q: Плата за исходные баллы

3

Электрический потенциал и связь с полем

V = (14πε₀)·(qr), E = -dVdr = -∇V

Совершенная работа по доведению единичного положительного пробного заряда от бесконечности до расстояния r без ускорения.

V: Электрический потенциал E: Электрическое поле

4

Электростатическая потенциальная энергия зарядовой пары

U = (14πε₀)·(q₁·q₂)r

Энергия, запасенная в конфигурации двух зарядов, разделенных расстоянием r (положительная для одинакового, отрицательная для разного)

U: Электростатическая потенциальная энергия

5

Электрический дипольный момент, крутящий момент и потенциальная энергия

p = q·2a, τ = p × E = p·E·sinθ, U = - p·E = - p·E·cosθ

Вектор диполя указывает от отрицательного заряда к положительному; выравнивается по внешнему полю E

p: Электрический дипольный момент τ: Восстановление крутящего момента U: Потенциальная энергия диполя

6

Закон электростатики Гаусса

Φ_E = ∮ E·dA = Q_enclosedε₀

Полный электрический поток через любую замкнутую гауссову поверхность равен приложенному заряду, деленному на ε₀.

Φ_E: Электрический поток Q_enclosed: Чистая внутренняя стоимость прилагается

7

Электрическое поле линейного заряда и бесконечного листа

E_line = λ2πε₀·r, E_sheet = σ2ε₀, E_cond = σε₀

Получено на основе закона Гаусса для однородной линейной плотности заряда λ и поверхностной плотности заряда σ.

λ: Линейная плотность заряда σ: Плотность поверхностного заряда

8

Емкость параллельного пластинчатого конденсатора

C = κ·ε₀·Ad

Емкость пропорциональна площади пластины A и диэлектрической проницаемости κ; обратно пропорциональна расстоянию d

C: Емкость κ: Диэлектрическая проницаемость среды (вакуум κ = 1) A: Площадь перекрытия пластин d: Расстояние между пластинами

9

Конденсаторы в последовательном и параллельном соединении

1C_series = 1C₁+1C₂+ ..., C_parallel = C₁ + C₂ + ...

Последовательно: заряд Q одинаков для всех конденсаторов; параллельно: напряжение V одинаково

C_s, C_p: Эквивалентная емкость

10

Электростатическая энергия, запасенная в конденсаторе

U = ½·C·V² = Q²2C = ½·Q·V

Энергия, запасенная в электрическом поле между обкладками конденсатора, заряженными до разности потенциалов В.

U: Запасенная электростатическая энергия Q: Сохраненный заряд (Q = C·V) V: Разность потенциалов напряжения

11

Плотность энергии электрического поля

u_E = ½·ε₀·E²

Электростатическая энергия, запасенная в единице объема пространства, занимаемого электрическим полем E

u_E: Плотность энергии E: Величина электрического поля

🔌

Глава 13: Электричество и цепи постоянного тока

9 формул

Скорость дрейфа, закон Ома, удельное сопротивление, температурная зависимость, законы Кирхгофа (KCL/KVL), мост Уитстона, внутреннее сопротивление и RC-цепи.

1

Электрический ток и скорость дрейфа

I = n·e·A·v_d, v_d = e·E·τm

Связывает макроскопический ток I с микроскопической скоростью дрейфа электронов v_d и временем релаксации τ.

I: Текущий n: Плотность свободных электронов на единицу объема e: Заряд элементарного электрона (1,602 × 10⁻¹⁹ Кл) A: Площадь поперечного сечения проводника v_d: Скорость дрейфа τ: Среднее время релаксации при столкновении

2

Плотность тока и микроскопический закон Ома

j = IA = σ·E = Eρ, σ = 1ρ = n·e²·τm

Векторная форма закона Ома, связывающая плотность тока j с электрическим полем E и проводимостью σ.

j: Плотность тока σ: Электропроводность ρ: Удельное сопротивление

3

Сопротивление, удельное сопротивление и температурный коэффициент

R = ρ·(LA), R(T) = R₀·[1 + α·(T - T₀)]

Сопротивление масштабируется по длине и температуре; обратно пропорционально площади поперечного сечения A

R: Электрическое сопротивление ρ: Электрическое сопротивление материала α: Температурный коэффициент сопротивления

4

Закон Ома и рассеиваемая электрическая мощность

V = I·R, P = V·I = I²·R = V²R, H = I²·R·t

Закон нагрева Джоуля: электрическая мощность рассеивается в виде тепла на резисторе R.

V: Разность потенциалов напряжения I: Текущий P: Рассеяние электроэнергии H: Джоулево тепловое рассеивание

5

Резисторы последовательно и параллельно

R_series = R₁ + R₂ + ...,1R_parallel = 1R₁+1R₂+ ...

Правила эквивалентного сопротивления для объединения элементов сети

R_s, R_p: Эквивалентное сопротивление цепи

6

Электродвижущая сила клетки и внутреннее сопротивление

V = E_emf - I·r, I = E_emfR + r

Напряжение на клеммах V меньше ЭДС холостого хода ℰ из-за внутреннего сопротивления r во время разряда.

ℰ: Электродвижущая сила разомкнутой цепи ЭДС V: Выходное напряжение клеммы r: Внутреннее сопротивление батареи/элемента R: Сопротивление цепи внешней нагрузки

7

Законы тока и напряжения Кирхгофа (KCL и KVL)

KCL (Junction): ∑ I_in = ∑ I_out, KVL (Loop): ∑ ΔV = ∑ E_emf - ∑ I·R = 0

KCL представляет собой сохранение заряда; КВЛ представляет собой сохранение электростатической энергии в замкнутых контурах.

∑ I: Сумма узловых токов перехода ∑ ΔV: Сумма падений потенциала ветвей в контуре

8

Состояние баланса моста Уитстона

R₁R₂ = R₃R₄ ⟹ I_galvanometer = 0

Используется в измерительных мостах и почтовых ящиках для точного измерения неизвестного сопротивления.

R₁, R₂, R₃, R₄: Четыре сопротивления плеча моста

9

Переходный процесс зарядки и разрядки RC-цепи

Charging: q(t) = Q₀·(1 - e^(-tRC)), Discharging: q(t) = Q₀·e^(-tRC), τ = R·C

Конденсатор заряжается до 63,2% от максимального Q₀ за одну постоянную времени τ = RC (разряжается до 36,8%).

τ = RC: Емкостная постоянная времени Q₀: Максимальный установившийся заряд (C·V₀)

🧲

Глава 14: Магнетизм, сила Био-Савара и Лоренца

10 формул

Магнитная сила Лоренца, сила тока в проводе, циклотронный радиус, закон Био-Савара, прямолинейное поле провода, соленоид/тороид, параллельные токи и магнитный дипольный момент

1

Магнитная сила Лоренца, действующая на движущийся заряд

F_B = q·(v × B) = q·v·B·sinθ

Перпендикулярная отклоняющая сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле (совершенная работа равна нулю)

F_B: Магнитная сила q: Величина заряда v: Вектор скорости B: Плотность магнитного потока θ: Угол между скоростью и магнитным полем

2

Суммарная комбинированная сила Лоренца (поля E + B)

F_total = q·(E + v × B)

Наложенная сила в одновременном электрическом и магнитном полях (переключатель скорости: v = E/B)

E: Электрическое поле B: Магнитное поле

3

Магнитная сила на проводнике с током

F = I·(L × B) = I·L·B·sinθ

Сила, действующая на прямой провод длиной L, по которому течет ток I, помещенный в однородное поле B.

F: Магнитная сила на проводе I: Ток проводника L: Вектор длины в текущем направлении

4

Радиус и частота орбиты циклотрона

r = m·vq·B, f = q·B2π·m, T = 2π·mq·B

Параметры спиральной/круговой орбиты заряженной частицы в поперечном магнитном поле (частота не зависит от скорости)

r: Гирорадиус / Ларморовский радиус f: Частота циклотронного резонанса

5

Закон магнитостатики Био-Савара

dB = (μ₀4π)·[I·dl × r̂r²] = μ₀·I·dl·sinθ4π·r²

Бесконечно малое магнитное поле, создаваемое элементом тока I dl на расстоянии r

μ₀4π: Константа магнитной проницаемости (10⁻⁷ Т·м/А) μ₀: Проницаемость вакуума (4π × 10⁻⁷ Гн/м или Т·м/А) dl: Вектор элемента длины

6

Магнитное поле длинного прямого провода

B = μ₀·I2π·r

Концентрическое круговое магнитное поле на радиальном расстоянии r от бесконечно длинного прямого провода

B: Плотность магнитного потока I: Постоянный ток r: Перпендикулярное расстояние от оси проволоки

7

Магнитное поле круговой петли (центр и ось)

B_center = μ₀·N·I2R, B_axis = μ₀·N·I·R²[2·(R² + x²)^(32)]

Магнитное поле, создаваемое круглой катушкой из N витков радиуса R на расстоянии x вдоль оси.

N: Количество круговых оборотов R: Радиус петли x: Расстояние вдоль центральной оси катушки

8

Круговой закон Ампера и электромагнитное поле

∮ B·dl = μ₀·I_encl, B_solenoid = μ₀·n·I (n = NL)

Однородное внутреннее аксиальное магнитное поле внутри плотно намотанного соленоида с n витками на единицу длины.

B_solenoid: Магнитное поле ядра n = NL: Витков на единицу длины

9

Сила между двумя параллельными токоведущими проводами

FL = μ₀·I₁·I₂2π·d

Сила притяжения для параллельных токов одного направления; отталкивание для встречно-параллельных токов (определение СИ Ампер)

FL: Сила на единицу длины d: Расстояние между параллельными проводниками

10

Магнитный дипольный момент и крутящий момент в токовой петле

M = N·I·A, τ = M × B = N·I·A·B·sinθ, U = - M·B

Принцип действия гальванометра с подвижной катушкой, двигателей постоянного тока и атомных магнитных моментов

M: Магнитный дипольный момент A: Вектор замкнутой области цикла τ: Отклоняющий крутящий момент

⚡

Глава 15: Электромагнитная индукция и цепи переменного тока

10 формул

Закон Фарадея, закон Ленца, ЭДС движения, собственная/взаимная индуктивность, плотность магнитной энергии, среднеквадратичные значения, импеданс в цепях LCR, резонанс и трансформаторы.

1

Закон электромагнитной индукции Фарадея и закон Ленца

E_ind = - N·(dΦ_Bdt), Φ_B = B·A = B·A·cosθ

Индуцированная электродвижущая сила равна отрицательной скорости изменения магнитного потока в контуре во времени (Ленц возражает против причины).

ℰ: Индуцированная электродвижущая сила (ЭДС) Φ_B: Магнитный поток N: Количество поворотов

2

ЭДС движения в движущемся проводнике

E_motional = B·L·v·sinθ

ЭДС, индуцируемая на концах проводящего стержня длиной L, движущегося со скоростью v в поле B.

ℰ: Движущая ЭДС B: Магнитное поле L: Длина проводника v: Скорость

3

Самоиндукция и взаимная индуктивность

E_self = - L·(dIdt), E_mutual = - M·(dI₁dt), L_solenoid = μ₀·n²·A·l

Противодействие изменению тока в катушке (собственная) или связанной соседней катушке (взаимная)

L, M: Собственная и взаимная индуктивность dIdt: Скорость текущего изменения

4

Магнитная энергия в индукторе и плотность энергии

U_B = ½·L·I², u_B = B²2μ₀

Потенциальная энергия, запасенная в магнитном поле, установленном внутри индуктора под напряжением.

U_B: Запасенная магнитная энергия u_B: Плотность магнитной энергии

5

Действующие и пиковые значения переменного тока/напряжения

V_rms = V₀√2 ≈ 0.707 V₀, I_rms = I₀√2 ≈ 0.707 I₀

Эффективная эквивалентная тепловая мощность постоянного тока для синусоидального переменного напряжения и тока

V_rms, I_rms: Среднеквадратические значения (например, сеть 230 В/120 В) V₀, I₀: Пиковые синусоидальные амплитуды

6

Индуктивное и емкостное реактивное сопротивление

X_L = ω·L = 2π·f·L, X_C = 1ω·C = 12π·f·C

Частотно-зависимое сопротивление переменного тока потоку тока, обеспечиваемое катушками индуктивности и конденсаторами.

X_L: Индуктивное реактивное сопротивление (ток отстает от напряжения на 90°) X_C: Емкостное реактивное сопротивление (токоведущее напряжение на 90°) f: Частота переменного тока

7

Импеданс цепи и фазовый угол серии LCR

Z = √[ R² + (X_L - X_C)² ], tanφ = X_L - X_CR

Общий вектор сопротивления электрического импеданса переменного тока в последовательных цепях R-L-C

Z: Общее сопротивление цепи φ: Фазовый угол между напряжением и током

8

Резонансная частота и добротность Q цепи LCR

f₀ = 12π·√L·C, Q = ω₀·LR = (1R)·√LC

Условия резонанса X_L = X_C, при которых полное сопротивление цепи достигает абсолютного минимума Z = R и ток максимизируется

f₀: Естественная частота электрического резонанса Q: Добротность / Резкость резонанса (безразмерная)

9

Истинная мощность переменного тока и коэффициент мощности

P_avg = V_rms·I_rms·cosφ, Power Factor: cosφ = RZ

Реальная потребляемая мощность в ваттах (чисто реактивные цепи с cosφ = 0 потребляют нулевую среднюю бесваттную мощность)

P_avg: Истинная средняя электрическая мощность cosφ: Коэффициент мощности (0 ≤ cosφ ≤ 1)

10

Коэффициент трансформации и эффективность трансформатора

V_sV_p = N_sN_p = I_pI_s = k, η = P_outP_in = V_s·I_sV_p·I_p

Повышающее (k > 1) или понижающее (k < 1) взаимное преобразование переменного напряжения с сохранением мощности

V_p, V_s: Первичное и вторичное напряжение N_p, N_s: Первичные и вторичные витки катушки I_p, I_s: Первичные и вторичные токи

⚛️

Глава 16: Оптика, квантовая и современная ядерная физика

12 формул

Уравнения зеркала/линзы, закон Снелла, двойная щель Юнга, фотоэлектрический эффект, волны материи де Бройля, атом Бора, радиоактивный распад и теория относительности массы и энергии.

1

Формула сферического зеркала и увеличение

1f = 1v+1u, m = -vu = h_ih_o

Связывает фокусное расстояние f, расстояние до изображения v и расстояние до объекта u со стандартным декартовым соглашением о знаках.

f: Фокусное расстояние (f = R/2) u: Расстояние объекта от полюса v: Расстояние изображения от полюса m: Линейное поперечное увеличение

2

Закон преломления Снелла и полное внутреннее отражение

n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂, sin(θ_c) = n₂n₁ (for n₁ > n₂)

Преломление светового луча через оптические границы и критический угол θ_c для полного внутреннего отражения

n₁, n₂: Показатели преломления сред (n = c/v) θ₁, θ₂: Углы падения и преломления θ_c: Критический угол полного внутреннего отражения

3

Формула производителя линз и уравнение тонкой линзы

1f = (n - 1)·(1R₁-1R₂),1f = 1v-1u, P = 1f(m)

Вычисляет оптическую силу P в диоптриях (D = m⁻¹) на основе показателя преломления n и радиусов кривизны R₁, R₂.

f: Фокусное расстояние объектива P: Оптическая сила линзы R₁, R₂: Радиусы сферической кривизны

4

Ширина интерференционной полосы с двойной щелью Янга

β = λ·Dd, y_n(bright) = n·(λ·Dd), y_n(dark) = (2n - 1)·(λ·D2d)

Пространственное расстояние между полосами β между последовательными интерференционными полосами на экране на расстоянии D

β: Расстояние по ширине бахромы λ: Длина волны света D: Расстояние от щелей до экрана d: Расстояние между щелями

5

Фотоэлектрическое уравнение Эйнштейна

E_photon = h·f = Φ₀ + K_max = h·f₀ + e·V_s

Энергия фотона hf преодолевает работу выхода металла Φ₀ и передает максимальную кинетическую энергию K_max

h: Постоянная Планка (6,62607 × 10⁻³⁴ Дж·с) f: Частота падающих фотонов Φ₀ = h·f₀: Пороговая работа выхода металла V_s: Остановочное потенциальное напряжение

6

Де Бройль Длина волны материи

λ = hp = hm·v = h√2m·K = h√2m·q·V

Корпускулярно-волновой дуализм: каждой движущейся частице соответствует соответствующая квантовая длина волны де Бройля.

λ: Длина волны де Бройля p: Импульс частицы V: Ускоряющее потенциальное напряжение

7

Модель атома водорода Бора (энергия и радиус)

r_n = n²·h²·ε₀π·m·e² = 0.529·n² Å, E_n = -13.6n² eV

Квантованные орбитальные радиусы электронов r_n и связанные стационарные энергетические состояния E_n для водородоподобных атомов

n: Главное квантовое число (n = 1, 2, 3...) E_n: Полная энергия n-го орбитального уровня

8

Формула Ридберга для спектрального ряда водорода

1λ = R_H·[1n₁²-1n₂²] (Lyman n₁ = 1, Balmer n₁ = 2, Paschen n₁ = 3)

Рассчитывает длины волн спектральных линий излучения/поглощения при атомных переходах (n₂ > n₁).

R_H: Константа Ридберга (1,097373 × 10⁷ м⁻¹) n₁, n₂: Нижние и верхние уровни квантовой энергии

9

Дефект массы и энергия ядерной связи

Δm = [Z·m_p + (A - Z)·m_n] - M_nucleus, E_b = Δm·c² = Δm(amu) × 931.5 MeV

Энергия, необходимая для разделения атомного ядра на отдельные составляющие протоны и нейтроны.

Δm: Массовый дефект E_b: Полная энергия ядерной связи

10

Закон радиоактивного распада и период полураспада

N(t) = N₀·e^(-λt), T_half = ln(2)λ ≈ 0.693λ, A = λ·N

Статистическая скорость распада нестабильных радионуклидов (активность измеряется в беккерелях Бк = распадов/с)

N(t): Количество оставшихся нераспавшихся радиоактивных ядер T_half: Период полураспада λ: Константа радиоактивного распада A: Активность

11

Эквивалентность массы и энергии Эйнштейна и релятивистская энергия

E = m·c² = γ·m₀·c², E² = (p·c)² + (m₀·c²)²

Инвариантное четырехимпульсное энергетическое соотношение, связывающее полную релятивистскую энергию E, импульс p и массу покоя m₀.

c: Скорость света в вакууме (299 792 458 м/с) m₀: Инвариантная масса покоя γ: Лоренц-фактор

12

Релятивистское замедление времени и сокращение длины

Δt = γ·Δt₀ = Δt₀√1 -v²c², L = L₀γ = L₀·√1 -v²c²

Движущиеся часы идут медленнее (замедление времени); подвижные стержни укорачиваются в направлении движения (сокращение длины)

Δt₀, L₀: Правильное время и правильная продолжительность отдыха v: Относительная скорость системы наблюдения

🧪

Полный справочник по химии

Законы газов, химическая термодинамика, кинетика, константы равновесия, уравнение Нернста, pH и ядерный распад.

83+ уравнений

🧪

Глава 1: Концепция моля, стехиометрия и термины концентрации

10 формул

Количественные преобразования массы в моли, соотношение Авогадро, молярность, моляльность, нормальность, ppm и выходы реакций.

1

Концепция моля, масса образца и количество частиц

n = mM = NN_A

Преобразование фундаментальных соотношений между массой образца, молями и элементарными частицами.

n: Количество родинок m: Масса образца M: Молярная масса вещества N: Общее количество частиц (атомы, молекулы, ионы) N_A: Константа Авогадро (6,02214 × 10²³ моль⁻¹)

2

Молярный объем газа на STP

V = n·V_m = n·22.414 L

Объем, занимаемый одним молем любого идеального газа при стандартных температуре и давлении.

V: Объем газа на СТП n: Количество родинок V_m: Стандартный молярный объем газа (22,414 л/моль при 1 атм, 22,71 л/моль при 1 бар)

3

Молярность (молярная концентрация)

M = n_soluteV_solution = w_B × 1000M_B × V_mL

Количество молей растворенного вещества на литр объема раствора

M: Молярная концентрация w_B: Масса растворенного вещества M_B: Молярная масса растворенного вещества V_mL: Объем раствора в миллилитрах

4

Моляльность (концентрация, независимая от температуры)

m = n_soluteW_solvent = w_B × 1000M_B × W_A

Моль растворенного вещества на килограмм чистого растворителя; не меняется при термических изменениях температуры

m: Моляльная концентрация w_B: Растворенная масса W_A: Масса растворителя в граммах M_B: Молярная масса растворенного вещества

5

Нормальность и эквивалентный вес

N = w_B × 1000E_B × V_mL = M·n_factor

Грамм-эквивалентная концентрация на литр; n-фактор представляет собой кислотность, основность или изменение валентности.

N: Нормальность E_B: Эквивалентный вес (M/n-фактор) n_factor: Фактор валентности / количество электронов M: Молярность

6

Молярная доля и закон суммирования

X_A = n_An_A + n_B, X_A + X_B = 1

Безразмерное отношение молей компонентов к общему молям раствора

X_A: Мольная доля компонента А n_A, n_B: Моли отдельных компонентов

7

Массовый процент (% по массе) и частей на миллион (ppm)

%(ww) = (w_solutew_total) × 100, ppm = (w_solutew_total) × 10⁶

Показатели концентрации следов широко используются при тестировании воды и анализе атмосферы.

w_solute: Растворенная масса w_total: Общая масса раствора ppm: Концентрация частей на миллион

8

Формула разведения объемного раствора

M₁·V₁ = M₂·V₂, N₁·V₁ = N₂·V₂

Сохранение молей растворенного вещества при разбавлении растворителем от начального до конечного объема

M₁, N₁: Концентрация запаса перед разбавлением V₁: Объем аликвоты запаса M₂, N₂: Целевая разбавленная концентрация V₂: Конечный объем разбавленного раствора

9

Процентный выход химической реакции

% Yield = (Actual YieldTheoretical Yield) × 100

Отношение экспериментально полученного продукта к стехиометрическому максимуму от лимитирующего реагента

Actual Yield: Масса выделенного продукта из эксперимента Theoretical Yield: Расчетная стехиометрическая масса

10

Множитель эмпирической формулы к молекулярной формуле

n = M_molecularM_empirical, Molecular Formula = (Empirical Formula)_n

Целочисленный множитель, масштабирующий простейшее атомное отношение целого числа к фактической молекулярной формуле

n: Интегральный стехиометрический множитель (1, 2, 3...) M_molecular: Фактическая молекулярная масса M_empirical: Эмпирическая формула массы

⚛️

Глава 2: Атомная структура, квантовая механика и радиоактивность

8 формул

Орбиты модели Бора, ридберговские спектральные переходы, корпускулярно-волновой дуализм де Бройля, принцип Гейзенберга и кинетика распада

1

Соотношение энергии фотона Планка-Эйнштейна

E = h·ν = h·cλ = h·c·ν_bar

Квантованная энергия, переносимая электромагнитным фотоном частоты ν и длины волны λ.

E: Квантовая энергия фотона h: Постоянная Планка (6,62607 × 10⁻³⁴ Дж·с) c: Скорость света (2,998 × 10⁸ м/с) λ: Длина волны ν_bar: Волновое число (1/λ)

2

Радиус орбиты водородоподобного атома Бора

r_n = n²·h²·ε₀π·m·Z·e² = 0.529·(n²Z) Å

Квантованный орбитальный радиус водородных атомов с ядерным атомным номером Z

r_n: Радиус n-й орбиты Бора n: Главное квантовое число (1, 2, 3...) Z: Атомный номер ядра (заряд)

3

Электронные энергетические уровни Бора

E_n = -13.6·(Z²n²) eV = -2.18 × 10⁻¹⁸·(Z²n²) J

Квантованная полная энергия связи связанного электрона в n-й основной оболочке

E_n: Полная орбитальная энергия электронов Z: Атомный номер n: Главный квантовый уровень

4

Уравнение спектра излучения Ридберга

1λ = R_H·Z²·(1n₁²-1n₂²)

Прогнозирует длины волн спектральных переходов (Лайман n₁=1, Бальмер n₁=2, Пашен n₁=3, Брэкетт n₁=4, Пфунд n₁=5)

R_H: Константа Ридберга (1,09677 × 10⁷ м⁻¹) n₁: Нижнее энергетическое состояние n₂: Состояние более высокой возбужденной энергии (n₂ > n₁)

5

де Бройля Длина волны материи

λ = hp = hm·v = h√2·m·E_k = h√2·m·q·V

Корпускулярно-волновой дуализм, показывающий, что движущиеся частицы имеют длину волны, обратно пропорциональную импульсу.

λ: длина волны де Бройля m: Масса частицы v: Скорость частицы V: Ускоряющий электростатический потенциал

6

Принцип неопределенности Гейзенберга

Δx·Δp ≥ h4π, ΔE·Δt ≥ h4π

Фундаментальный квантовый предел одновременной точности положения и сопряженного импульса

Δx: Неопределенность пространственного положения Δp: Неопределенность линейного импульса Δv: Неопределенность скорости

7

Уравнение фотоэлектрической кинетической энергии Эйнштейна

h·ν = Φ + K_max = h·ν₀ + ½·m·v_max²

Сохранение энергии при поглощении фотонов и эмиссии фотоэлектронов.

Φ: Работа выхода металлической поверхности (h·ν₀) ν₀: Пороговая частота среза V_s: Остановочный потенциал

8

Закон ядерного радиоактивного распада и период полураспада

N(t) = N₀·e^(-λ·t), t_½ = ln(2)λ = 0.693λ

Скорость спонтанного ядерного распада первого порядка и период радиоактивного полураспада

N(t): Нераспавшиеся радиоактивные ядра, оставшиеся в момент времени t N₀: Начальное количество радиоактивных ядер при t = 0 λ: Константа радиоактивного распада t_½: Радиоактивный период полураспада

💨

Глава 3: Газообразное состояние и кинетическая молекулярная теория

8 формул

Соотношения идеальных газов, парциальные давления Дальтона, излияние Грэма, скорости молекул и реальные газы Ван-дер-Ваальса.

1

Закон идеального газа и соотношение плотности газа

P·V = n·R·T, P·M = ρ·R·T

Уравнение состояния идеального газа, связывающее давление, объем, температуру и плотность

P: Давление газа V: Объем газа n: Сумма в молях R: Газовая постоянная (0,0821 л·атм/(моль·К) = 8,314 Дж/(моль·К)) T: Абсолютная температура ρ: Массовая плотность газа

2

Комбинированный газовый закон (Бойль, Шарль, Гей-Люссак)

P₁·V₁T₁ = P₂·V₂T₂

Объединяет газовые законы Бойля (PV=k), Шарля (V/T=k) и Гей-Люссака (P/T=k).

P₁, V₁, T₁: Давление, объем и абсолютная температура в исходном состоянии P₂, V₂, T₂: Давление, объем и абсолютная температура конечного состояния

3

Закон парциальных давлений Дальтона

P_total = P_A + P_B + P_C, P_A = X_A·P_total

Полное давление в нереагирующей газовой смеси равно сумме отдельных парциальных давлений.

P_total: Общее давление в контейнере P_A: Парциальное давление газа А X_A: Мольная доля газа А в смеси

4

Закон Грэма о диффузии и излиянии

r₁r₂ = √M₂M₁ = √ρ₂ρ₁ = V₁t₁V₂t₂

Скорость истечения/диффузии газа через пористое отверстие обратно пропорциональна квадратному корню из молярной массы.

r₁, r₂: Скорость диффузии/излияния M₁, M₂: Молярные массы газов

5

Среднеквадратичные, средние и наиболее вероятные скорости молекул

u_rms = √3RTM, u_avg = √8RTπM, u_mp = √2RTM

Коэффициенты распределения Максвелла-Больцмана: u_mp : u_avg : u_rms = 1 : 1,128 : 1,224 = √2 : √(8/π) : √3

u_rms: Среднеквадратическая скорость u_avg: Средняя арифметическая скорость u_mp: Наиболее вероятная скорость при пиковом распределении M: Молярная масса в килограммах на моль

6

Кинетическая энергия газа и средняя кинетическая энергия

E_k,total = (32)·n·R·T, E_k,molecule = (32)·k_B·T

Полная и поступательная кинетическая энергия на молекулу, зависящая исключительно от абсолютной температуры.

k_B: Постоянная Больцмана (1,38065 × 10⁻²³ Дж/К) T: Абсолютная температура

7

Уравнение Ван дер Ваальса для реальных газов.

(P +a·n²V²)·(V - n·b) = n·R·T

Исправляет закон идеального газа для межмолекулярных сил притяжения (а) и исключает конечный молекулярный объем (б)

a: Коэффициент межмолекулярного притяжения b: Коэффициент исключенного объема/совместного объема (4 × молекулярный объем)

8

Коэффициент сжимаемости и критические константы

Z = P·V_mR·T, T_c = 8a27Rb, P_c = a27b², V_c = 3b

Измеряет отклонение от идеального поведения (Z=1). При температуре выше критической T_c газ не может быть сжижен.

Z: Коэффициент сжимаемости (Z > 1 положительное отклонение, Z < 1 отрицательное) T_c: Критическая температура P_c: Критическое давление V_c: Критический молярный объем

🔥

Глава 4: Химическая термодинамика и термохимия

9 формул

Первый закон, закон Гесса, энергии связи, изменения энтропии, свободная энергия Гиббса и равновесное взаимодействие.

1

Первый закон термодинамики и работа расширения

ΔU = q + w, w = -P_ext·ΔV = -∫ P_ext dV

Соглашение ИЮПАК: работа, совершаемая системой, положительна (+), работа, совершаемая системой, отрицательна (-).

ΔU: Изменение внутренней энергии q: Тепло поглощается системой w: Работа, выполняемая системой/системой P_ext: Внешнее противодействующее давление

2

Обратимая изотермическая работа идеального газа.

w_rev = -n·R·T·ln(V₂V₁) = -2.303·n·R·T·log(P₁P₂)

Максимально возможная термодинамическая работа, полученная при медленном квазистатическом изотермическом расширении.

w_rev: Максимальная обратимая работа V₁, V₂: Начальный и расширенный тома

3

Определение энтальпии и мольное соотношение газов

H = U + P·V ⟹ ΔH = ΔU + Δn_g·R·T

Связывает тепло реакции при постоянном давлении (ΔH = q_p) и постоянном объеме (ΔU = q_v)

ΔH: Изменение энтальпии ΔU: Изменение внутренней энергии Δn_g: Изменение молей газообразных веществ: ∑ n_g(продукты) - ∑ n_g(реагенты)

4

Молярная теплоемкость и соотношение Майера

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v, ΔH = n·C_p·ΔT, ΔU = n·C_v·ΔT

Зависимости удельной теплоемкости одноатомных (γ=1,66), двухатомных (γ=1,40) и многоатомных газов

C_p: Молярная теплоемкость при постоянном давлении C_v: Молярная теплоемкость при постоянном объеме γ: Коэффициент адиабатической теплоемкости (индекс Пуассона)

5

Стандартная энтальпия реакции на основе энтальпии образования

ΔH_rxn° = ∑ ν_p·ΔH_f°(products) - ∑ ν_r·ΔH_f°(reactants)

Рассчитывает стандартную энтальпию реакции (ΔH_f° чистых элементов в стандартных состояниях равна нулю)

ΔH_rxn°: Стандартная энтальпия реакции ΔH_f°: Стандартная энтальпия образования ν_p, ν_r: Стехиометрические коэффициенты

6

Энтальпия реакции от энергии диссоциации связи

ΔH_rxn = ∑ Bond Energy(broken in reactants) - ∑ Bond Energy(formed in products)

Приблизительно определяет энтальпии газовой реакции на основе средних энергий диссоциации ковалентной связи.

B.E.: Энтальпия диссоциации связи

7

Закон температуры-энтальпии Кирхгофа.

ΔH_T2 = ΔH_T1 + ΔC_p·(T₂ - T₁)

Оценивает теплоту реакции при различных температурах, когда известны теплоемкости.

ΔC_p: ∑ C_p(продукты) - ∑ C_p(реагенты)

8

Свободная энергия Гиббса и критерий спонтанности

ΔG = ΔH - T·ΔS

Определяет направление термодинамической реакции при постоянной температуре и давлении.

ΔG: Изменение свободной энергии Гиббса ΔH: Изменение энтальпии ΔS: Изменение энтропии T: Абсолютная температура

9

Стандартная свободная энергия и константа равновесия

ΔG° = -R·T·ln(K_eq) = -2.303·R·T·log(K_eq)

Фундаментальная связь, связывающая химические термодинамические потенциалы с константами макроскопического равновесия.

ΔG°: Стандартное изменение свободной энергии K_eq: Константа термодинамического равновесия

⚖️

Глава 5: Химическое равновесие и принцип Ле Шателье

5 формул

Закон действующих масс, соотношения Kc и Kp, коэффициент реакции Q, степень диссоциации и уравнение Ван-т-Гоффа

1

Закон констант равновесия действия масс (Kc и Kp)

K_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b, K_p = P_C^c·P_D^dP_A^a·P_B^b

Отношение концентраций продуктов к концентрациям реагентов, возведенным в стехиометрическую степень в равновесии

K_c: Константа равновесия в молярных концентрациях K_p: Константа равновесия в парциальных давлениях

2

Связь между Kp и Kc

K_p = K_c·(R·T)^(Δn_g)

Связывает константы равновесия давления и концентрации; если Δn_g = 0, то K_p = K_c

Δn_g: Изменение стехиометрических молей газа R: Газовая постоянная (0,0821 л·атм/(моль·К)) T: Абсолютная температура в Кельвинах

3

Коэффициент реакции (Q) и критерий направления

Q_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b

Вычисляет неравновесное мгновенное соотношение для прогнозирования спонтанного направления к равновесию.

Q_c: Коэффициент мгновенной неравновесной реакции K_c: Константа равновесия

4

Изохора температурного равновесия Ван 'т-Гоффа

ln(K₂K₁) = (ΔH°R)·(1T₁-1T₂)

Прогнозирует сдвиг константы равновесия с температурой (K увеличивается с T для эндотермического ΔH > 0)

K₁, K₂: Константы равновесия при температурах T₁ и T₂ ΔH°: Стандартная энтальпия реакции

5

Степень диссоциации (α) от плотности пара

α = D - d(n - 1)·d = M_theoretical - M_observed(n - 1)·M_observed

Доля исходных молекул, диссоциировавших в равновесии, где n — моли продуктов на моль реагента.

α: Степень диссоциации (0 ≤ α ≤ 1) D: Начальная теоретическая плотность пара d: Наблюдаемая равновесная плотность пара n: Количество молей продукта, произведенных на моль реагента

🧪

Глава 6: Ионное равновесие, кислоты, основания и буферы

6 формул

Разбавление Оствальда, шкалы pH, буферные уравнения Хендерсона-Хассельбаха, гидролиз солей и произведение растворимости Ksp.

1

Закон разбавления Оствальда для слабых электролитов.

K_a = C·α²1 - α ≈ C·α² ⟹ α = √K_aC

Действительно для слабых кислот/оснований, когда фракция диссоциации α << 1

K_a: Константа ионизации кислоты C: Начальная молярная концентрация α: Степень ионизации

2

Автоионизация воды и шкала pH-pOH

K_w = [H⁺]·[OH⁻] = 1.0 × 10⁻¹⁴, pH + pOH = pK_w = 14

Основные логарифмические шкалы: pH = -log₁₀[H⁺] и pOH = -log₁₀[OH⁻]

[H⁺]: Молярность ионов гидроксония [OH⁻]: Молярность гидроксид-иона K_w: Продукт автоионизации воды

3

Уравнение Хендерсона-Хассельбалха (кислотный буфер)

pH = pK_a + log₁₀([Conjugate Base][Weak Acid]) = pK_a + log₁₀([Salt][Acid])

Рассчитывает pH кислой буферной смеси (например, CH3COOH + CH3COONa)

pK_a: -log₁₀(K_a) слабой кислоты [A⁻]: Концентрация сопряженного основания/соли [HA]: Концентрация недиссоциированной слабой кислоты

4

Уравнение Хендерсона-Хассельбалха (базовый буфер)

pOH = pK_b + log₁₀([Conjugate Acid][Weak Base]), pH = 14 - pOH

Рассчитывает pH и pH основного буферного раствора (например, NH₄OH + NH₄Cl).

pK_b: -log₁₀(K_b) слабого основания [Salt]: Молярная концентрация сопряженной соли [Base]: Молярная концентрация слабого основания

5

Формулы pH гидролиза солей

WA-SB: pH = 7 + ½pK_a + ½log(C), SA-WB: pH = 7 - ½pK_b - ½log(C), WA-WB: pH = 7 + ½pK_a - ½pK_b

Рассчитывает pH в результате катионного/анионного гидролиза солей слабых кислот и слабых оснований.

C: Молярная концентрация раствора соли

6

Константа произведения растворимости (Ksp) и молярная растворимость (S)

A_x B_y ⇌ x A^(y+) + y B^(x-) ⟹ K_sp = x^x·y^y·S^(x+y)

Константа равновесия для труднорастворимых солей (соль 1:1: K_sp = S²; соль 1:2: K_sp = 4S³; соль 1:3: K_sp = 27S⁴)

K_sp: Константа произведения растворимости S: Молярная растворимость соли

⏱️

Глава 7: Химическая кинетика и динамика реакций

6 формул

Дифференциальные и интегральные законы скорости, уравнения полураспада, энергия активации Аррениуса и теория столкновений.

1

Общая скорость реакции и выражение закона скорости

Rate = -(1a)·(d[A]dt) = (1c)·(d[C]dt) = k·[A]^m·[B]^n

Общий порядок реакции = m + n; Константа скорости k имеет единицы измерения (моль/л)^(1-n) · с⁻¹

k: Удельная константа скорости реакции m, n: Экспериментально установленный порядок реакций

2

Закон интегрированной скорости нулевого порядка и период полураспада

[A] = [A]₀ - k·t, t_½ = [A]₀2k

Скорость не зависит от концентрации реагента; период полувыведения прямо пропорционален исходной концентрации

[A]₀: Начальная концентрация при t = 0 [A]: Концентрация, оставшаяся в момент времени t k: Константа скорости нулевого порядка

3

Закон интегрированной скорости первого порядка и период полураспада

k = (2.303t)·log([A]₀[A]), [A] = [A]₀·e^(-k·t), t_½ = ln(2)k = 0.693k

Период полураспада первого порядка строго не зависит от начальной концентрации реагента.

k: Константа скорости первого порядка t_½: Период полураспада

4

Закон интегрированной скорости второго порядка и период полураспада

1[A] = 1[A]₀ + k·t, t_½ = 1k·[A]₀

Период полураспада обратно пропорционален начальной концентрации реагента.

k: Константа скорости второго порядка

5

Уравнение скорости-температуры Аррениуса

k = A·e^(-E_aR·T) ⟹ ln(k) = ln(A) -E_aR·T

Количественно определяет экспоненциальное ускорение скорости в зависимости от температуры и энергетического барьера активации.

k: Константа скорости A: Предэкспоненциальный частотный коэффициент Аррениуса E_a: Энергия активации R: Газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К)) T: Абсолютная температура

6

Формула двухтемпературного отношения Аррениуса

log(k₂k₁) = (E_a2.303·R)·(T₂ - T₁T₁·T₂)

Рассчитывает энергию активации E_a на основе констант скорости, измеренных при двух разных температурах.

k₁, k₂: Константы скорости при температурах T₁ и T₂

⚡

Глава 8: Электрохимия и гальванические элементы

6 формул

Стандартные потенциалы ЭДС, уравнение Нернста, электрическая работа Гиббса, проводимость Кольрауша и законы электролиза Фарадея.

1

Стандартный клеточный потенциал (ЭМП)

E_cell° = E_cathode° - E_anode° = E_reduction(RHE)° - E_reduction(LHE)°

Электродвижущая сила при стандартных условиях (концентрация 1 М, давление газа 1 атм, 298 К)

E_cell°: Стандартная электродвижущая сила E_cathode°: Стандартный восстановительный потенциал катода E_anode°: Стандартный восстановительный потенциал анода

2

Уравнение Нернста при 298 К (25°C)

E_cell = E_cell° - (0.0591n)·log₁₀(Q)

Рассчитывает нестандартный электрохимический потенциал ячейки для неединичных активностей реагента/продукта.

E_cell: Фактический потенциал клетки n: Моль электронов, перенесенных на моль сбалансированной реакции Q: Коэффициент реакции ([Анодные ионы] / [Катодные ионы]) F: Константа Фарадея (96 485 Кл/моль e⁻)

3

Свободная энергия Гиббса и потенциал стандартной клетки

ΔG° = -n·F·E_cell°, E_cell° = (0.0591n)·log₁₀(K_c)

Связывает стандартный потенциал электрохимической ячейки с максимальной электрической работой без расширения и равновесием.

ΔG°: Стандартное изменение свободной энергии Гиббса K_c: Константа электрохимического равновесия

4

Удельная и молярная электролитическая проводимость

κ = G·(lA) = (1R)·G*, Λ_m = κ × 1000M

Молярная проводимость на моль электролита (единицы: См·см²·моль⁻¹)

κ: Удельная проводимость (электролитическая проводимость) G*: Константа ячейки (л/А) Λ_m: Молярная проводимость M: Молярность электролита

5

Закон независимой миграции ионов Кольрауша.

Λ_m° = ν₊·λ₊° + ν₋·λ₋°, α = Λ_mΛ_m°

При бесконечном разбавлении каждый ион независимо вносит вклад в молярную проводимость; определяет слабую диссоциацию электролита α

Λ_m°: Ограничение молярной проводимости при бесконечном разбавлении λ₊°, λ₋°: Предельная ионная проводимость катиона и аниона α: Степень электролитической диссоциации

6

Законы электролиза Фарадея.

m = Z·I·t = M·I·tn·F,m₁E₁ = m₂E₂

Масса, отложившаяся или высвободившаяся на электроде, пропорциональна заряду Q (константа Фарадея F = 96485 Кл/моль).

m: Масса высвободившегося/отложенного вещества Z: Электрохимический эквивалент (Е/96485) I: Электрический ток t: Продолжительность электролиза E: Эквивалентный вес (M/n)

💧

Глава 9: Решения и коллигативные свойства

6 формул

Закон Рауля о давлении пара, повышении температуры кипения, депрессии замерзания, осмотическом давлении и факторе Ван-т-Гоффа.

1

Закон Рауля и относительное понижение давления пара

P_A = X_A·P_A°,P_A° - P_AP_A° = X_B = n_Bn_A + n_B

Относительное снижение давления пара равно мольной доле нелетучего растворенного вещества.

P_A°: Давление паров чистого растворителя P_A: Давление пара раствора X_B: Мольная доля нелетучего растворенного вещества

2

Повышение температуры кипения (эбуллиоскопия)

ΔT_b = i·K_b·m = i·(K_b × w_B × 1000M_B × w_A)

Эбуллиоскопическая константа K_b зависит исключительно от природы растворителя: K_b = (R·T_b²·M_растворитель) / (1000·ΔH_vap)

ΔT_b: Повышение температуры кипения K_b: Константа повышения моляльной точки кипения (0,512 К·кг/моль для воды) m: Моляльность раствора i: Фактор Ван'т-Гоффа

3

Понижение точки замерзания (криоскопия)

ΔT_f = i·K_f·m = i·(K_f × w_B × 1000M_B × w_A)

Криоскопическая константа K_f: K_f = (R·T_f²·M_solvent) / (1000·ΔH_fus) (1,86 К·кг/моль для воды)

ΔT_f: Депрессия точки замерзания K_f: Константа моляльного снижения температуры замерзания m: Моляльность

4

Закон осмотического давления Ван 'т-Гоффа

Π = i·C·R·T = i·(n_BV)·R·T = i·(w_B·R·T)M_B·V

Гидростатическое давление, необходимое для полного предотвращения осмоса растворителя через полупроницаемую мембрану.

Π: Осмотическое давление C: Молярная концентрация M_B: Молярная масса растворенного вещества (широко используется для полимеров/белков)

5

Фактор Ван 'т-Гоффа (i) для диссоциации и ассоциации

i = 1 + (n - 1)·α_diss, i = 1 + (1n- 1)·α_assoc

Учитывает аномальные молекулярные массы из-за ионизации или димеризации электролита в растворе.

i: Фактор Ван 'т-Гоффа (i > 1 для диссоциации, i < 1 для ассоциации) α: Степень ассоциации/диссоциации n: Количество ионов или степень ассоциации

6

Закон Генри о растворимости газа в жидкости.

p_gas = K_H·X_gas, m_gas = k_H·p_gas

Растворенный в жидкости газ прямо пропорционален парциальному давлению над жидкостью (K_H увеличивается с ростом T).

p_gas: Парциальное давление газа над жидкостью K_H: Константа закона Генри X_gas: Мольная доля растворенного газа

🧊

Глава 10: Твердое тело и кристаллография

4 формул

Плотность элементарных ячеек, кубическая геометрия кристаллов (SC, BCC, FCC), правила соотношения радиусов и брэгговская дифракция рентгеновских лучей.

1

Формула кристаллической плотности элементарной ячейки

ρ = z·Ma³·N_A

Теоретическая плотность кристаллической массы по длине ребра решетки a и эффективному числу атомов z

ρ: Плотность кристаллов z: Эффективное количество атомов на элементарную ячейку (SC: 1, BCC: 2, FCC: 4) M: Молярная масса вещества a: Длина ребра элементарной ячейки N_A: Число Авогадро (6,022 × 10²³ моль⁻¹)

2

Геометрия кубической решетки и эффективность упаковки

SC: r = a2 (52.4%), BCC: r = (√34)·a (68.0%), FCC: r = a2√2 (74.0%)

Геометрические соотношения между атомным радиусом r, длиной ребра a и эффективностью упаковки пространства

r: Атомный радиус a: Длина края решетки

3

Правила предельного соотношения радиусов и координационная геометрия

Linear: <0.155 (CN 2),  Triangular: 0.155-0.225 (CN 3),  Tetrahedral: 0.225-0.414 (CN 4),  Octahedral: 0.414-0.732 (CN 6),  Cubic: 0.732-1.000 (CN 8)

Прогнозирует координационное число ионного кристалла (CN) и межузельную геометрию на основе соотношения радиусов катиона и аниона.

r₊r₋: Соотношение радиусов катиона и аниона

4

Закон дифракции рентгеновских лучей Брэгга.

n·λ = 2·d·sin(θ)

Условие конструктивной интерференции монохроматических рентгеновских лучей, рассеянных плоскостями кристаллической решетки, отстоящими друг от друга d

n: Целое число порядка дифракции (1, 2, 3...) λ: Длина волны рентгеновского излучения d: Межплоскостное расстояние между плоскостями решетки θ: Брэгговский угол скольжения/рассеяния

🧲

Глава 11: Химия поверхности и коллоидное состояние

3 формул

Изотермы адсорбции Фрейндлиха и Ленгмюра, правило Харди-Шульце и дзета-потенциал

1

Изотерма адсорбции Фрейндлиха

xm = k·P^(1n) ⟹ log(xm) = log(k) + (1n)·log(P)

Эмпирическая модель адсорбции газа на поверхности твердого адсорбента в умеренном диапазоне давлений

x: Масса адсорбированного газа m: Масса твердого адсорбента P: Равновесное давление газа k, n: Константы адсорбции для данной пары адсорбент-газ

2

Изотерма монослойной адсорбции Ленгмюра

xm = a·P1 + b·P ⟹ Pxm = 1a+ (ba)·P

Теоретическая модель, предполагающая однородное монослойное покрытие поверхности и локализованные идентичные участки.

a, b: Ленгмюровские кинетические параметры адсорбции-десорбции P: Равновесное давление

3

Правило Харди-Шульце для коллоидной коагуляции

Coagulating Power ∝ (Valency of Oppositely Charged Ion)⁴

Коагулирующая способность иона электролита резко возрастает с увеличением валентности его заряда z

z: Валентный заряд активного коагулирующего иона

🔗

Глава 12: Химическая связь и молекулярная структура

5 формул

Дипольные моменты, ионный характер Полинга, порядок молекулярных орбитальных связей, формальные заряды и только спиновые магнитные моменты.

1

Электрический дипольный момент (Дебая)

μ = q·d, 1 Debye (D) = 3.33564 × 10⁻³⁰ C·m = 10⁻¹⁸ esu·cm

Количественно определяет электрическую полярность молекулы на основе разделения зарядов q по расстоянию связи d.

μ: Молекулярный дипольный момент q: Величина отделенного частичного заряда d: Расстояние между зарядами

2

Процент ионного характера Полинга

% Ionic = 16·|χ_A - χ_B| + 3.5·(χ_A - χ_B)²

Оценивает процентный ионный характер ковалентной связи по разнице электроотрицательностей Δχ.

χ_A, χ_B: Полинговская электроотрицательность связанных атомов

3

Порядок молекулярно-орбитальной (МО) связи

Bond Order = ½·(N_b - N_a)

Чистая стабильность связи: порядок связи > 0 указывает на стабильную молекулу; более высокий порядок связи означает меньшую длину связи и более высокую энергию связи

N_b: Число электронов на связывающих молекулярных орбиталях (BMO) N_a: Число электронов на разрыхляющих молекулярных орбиталях (ABMO)

4

Формальный заряд атома структуры Льюиса

FC = V - N_lone - ½·N_bonding

Учет валентных электронов для определения наиболее стабильной резонансной структуры Льюиса

V: Валентные электроны свободного нейтрального атома N_lone: Несвязывающие неподеленные пары электронов N_bonding: Общее количество общих связывающих электронов

5

Только спиновый магнитный момент ионов переходных металлов

μ_s = √n·(n + 2) BM

Вычисляет парамагнитный магнитный момент по количеству неспаренных d-электронов n (n=1: 1,73 БМ, n=2: 2,83 БМ, n=3: 3,87 БМ, n=4: 4,90 БМ, n=5: 5,92 БМ)

μ_s: Только спиновый магнитный момент n: Количество неспаренных электронов

⚗️

Глава 13: Окислительно-восстановительные реакции и объемное титрование

3 формул

Числа окисления, эквивалентные массы, окислительно-восстановительная нейтрализация и стехиометрия диспропорционирования.

1

Эквивалентная масса окислителей и восстановителей

E = Molar MassNumber of electrons gained or lost per molecule

Пример: KMnO₄ в кислой среде (n=5) E = M/5; в нейтральной среде (n=3) E = M/3; в базовой среде (n=1) E = M/1

E: Эквивалентный вес M: Молярная масса

2

Закон химических эквивалентов и закон титрования

N₁·V₁ = N₂·V₂ ⟹ n₁·M₁·V₁ = n₂·M₂·V₂

В точке стехиометрической эквивалентности эквиваленты титранта равны эквивалентам аналита.

N₁, N₂: Нормальности реагирующих растворов V₁, V₂: Потребляемые титровые объемы n₁, n₂: n-факторы реагирующих химических веществ

3

Эквивалентный вес в реакциях диспропорционирования

E_total = E_oxidation + E_reduction = Mn₁+Mn₂

Для окислительно-восстановительных реакций, в которых один и тот же химический элемент одновременно подвергается окислению и восстановлению.

n₁, n₂: Электронные изменения в полуреакциях окисления и восстановления.

🌿

Глава 14: Принципы органической химии и стереохимия

4 формул

Индекс дефицита водорода (ИГД), удельное оптическое вращение, энантиомерный избыток и уравнение Гаммета.

1

Индекс дефицита водорода (степень ненасыщенности)

IHD = C + 1 - (H2) - (X2) + (N2)

Определяет общее количество колец и π-связей (двойная связь = 1, тройная связь = 2, бензольное кольцо = 4).

C: Количество атомов углерода H: Количество атомов водорода X: Количество атомов галогена (F, Cl, Br, I) N: Количество атомов азота

2

Особый закон оптического вращения Био

[α]_D^T = α_obsl·c

Стандартная хиральная оптическая активность, измеренная с помощью поляриметрии натриевой D-линии (589 нм).

[α]_D^T: Удельное оптическое вращение α_obs: Наблюдаемый угол оптического вращения в поляриметре l: Длина пути трубки пробы поляриметра c: Концентрация раствора образца

3

Энантиомерный избыток (% ее) и оптическая чистота

% ee = (|R -S|R + S) × 100 = (α_obsα_pure) × 100

Количественно определяет хиральный избыток одного энантиомера над рацемической смесью (смесь 50:50 имеет 0% ee)

% ee: Процент энантиомерного избытка [R], [S]: Молярные проценты энантиомеров R и S

4

Линейное соотношение свободной энергии Хэммета

log(KK₀) = σ·ρ, log(kk₀) = σ·ρ

Связывает электронные эффекты мета/пара-заместителей (σ) и чувствительность реакции (ρ) со скоростями замещенной бензойной кислоты.

σ: Константа заместителя Гаммета (электроноотводящий σ > 0, отдающий σ < 0) ρ: Константа чувствительности реакции K, K₀: Константы равновесия с заместителем и без заместителя