Formeln - Mathematics, Physics & Chemistry

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Trigonometrie-Formelsammlung

Pythagoreische Identitäten, Additionstheoreme, Doppelwinkel, Eulersche Formel, Sinus- und Kosinussatz.

92+ Gleichungen

📊

Wertetabelle für Winkel am Einheitskreis

Exakte trigonometrische Verhältnisse für Standardwinkel in Grad und Radiant

Standardreferenz

Grad (x)	Radiant (rad)	sin(x)	cos(x)	tan(x)	csc(x)	sec(x)	cot(x)
0°	0	0	1	0	nicht definiert	1	nicht definiert
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	2	2√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	√2	√2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	2√3/3	2	√3/3
90°	π/2	1	0	nicht definiert	1	nicht definiert	0
120°	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	2√3/3	-2	-√3/3
135°	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	√2	-√2	-1
150°	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	2	-2√3/3	-√3
180°	π	0	-1	0	nicht definiert	-1	nicht definiert
270°	3π/2	-1	0	nicht definiert	-1	nicht definiert	0
360°	2π	0	1	0	nicht definiert	1	nicht definiert

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Reziproke und Quotientenidentitäten

8 Formeln

Grundlegende Beziehungen zwischen primären und reziproken trigonometrischen Verhältnissen

1

Sinus-Reziprokwert

sin(x) = 1csc(x)

csc(x) ≠ 0; x ≠ nπ

2

Kosekans-Reziprokwert

csc(x) = 1sin(x)

sin(x) ≠ 0; x ≠ nπ

3

Kosinus-Reziprokwert

cos(x) = 1sec(x)

sec(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

4

Sekantenreziprok

sec(x) = 1cos(x)

cos(x) ≠ 0; x ≠ (2n+1)π/2

5

Tangentialer Kehrwert

tan(x) = 1cot(x)

cot(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

6

Kotangens-Kehrwert

cot(x) = 1tan(x)

tan(x) ≠ 0; x ≠ nπ/2

7

Tangensquotient

tan(x) = sin(x)cos(x)

Verhältnis von Gegenstück zu Nachbarstück in einem rechtwinkligen Dreieck

8

Kotangensquotient

cot(x) = cos(x)sin(x)

Verhältnis von Nachbar zu Gegenstück in einem rechtwinkligen Dreieck

🪞

Formeln für entgegengesetzte Winkel (gerade und ungerade Funktionen)

6 Formeln

Symmetrieverhalten trigonometrischer Funktionen unter Winkelnegation

1

Sinus negativer Winkel (ungerade Funktion)

sin(-x) = -sin(x)

Symmetrisch zum Ursprung

2

Kosinus negativer Winkel (gerade Funktion)

cos(-x) = cos(x)

Symmetrisch bezüglich der y-Achse

3

Tangentialer negativer Winkel (ungerade Funktion)

tan(-x) = -tan(x)

Seltsame Symmetrie um den Ursprung

4

Kotangens negativer Winkel (ungerade Funktion)

cot(-x) = -cot(x)

Seltsame Symmetrie um den Ursprung

5

Sekante negativer Winkel (gerade Funktion)

sec(-x) = sec(x)

Erbt gerade Symmetrie vom Kosinus

6

Kosekant negativer Winkel (ungerade Funktion)

csc(-x) = -csc(x)

Erbt ungerade Symmetrie vom Sinus

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Kofunktionsformeln (Komplementärwinkel)

6 Formeln

Identitäten, die trigonometrische Funktionen komplementärer Winkel verbinden (π/2 - x oder 90° - x)

1

Sinuskofunktion

sin(π2- x) = cos(x)

Auch: sin(90° - x) = cos(x)

2

Kosinuskofunktion

cos(π2- x) = sin(x)

Auch: cos(90° - x) = sin(x)

3

Tangente Kofunktion

tan(π2- x) = cot(x)

Auch: tan(90° - x) = cot(x)

4

Kotangenskofunktion

cot(π2- x) = tan(x)

Auch: cot(90° - x) = tan(x)

5

Sekantenkofunktion

sec(π2- x) = csc(x)

Auch: sec(90° - x) = csc(x)

6

Kosekantenkofunktion

csc(π2- x) = sec(x)

Auch: csc(90° - x) = sec(x)

🔺

Pythagoreische Identitäten und algebraische Formen

9 Formeln

Direkt abgeleitet vom Einheitskreis (x² + y² = 1) und der Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks

1

Primäre pythagoreische Identität

sin²(x) + cos²(x) = 1

Für alle reellen Winkel x gültige Fundamentalidentität

2

Sinus im Sinne von Cosinus

sin(x) = ±√1 - cos²(x)

Das Vorzeichen wird basierend auf dem Quadranten von x ausgewählt

3

Kosinus im Verhältnis zum Sinus

cos(x) = ±√1 - sin²(x)

Das Vorzeichen wird basierend auf dem Quadranten von x ausgewählt

4

Tangenten-Sekanten-Pythagoras-Identität

1 + tan²(x) = sec²(x)

Erhalten durch Division von sin²(x) + cos²(x) = 1 durch cos²(x)

5

Form der Sekanten-Tangens-Differenz

sec²(x) - tan²(x) = 1

Gültig, wenn cos(x) ≠ 0

6

Kotangens-Kosektans-Pythagoräische Identität

1 + cot²(x) = csc²(x)

Erhalten durch Division von sin²(x) + cos²(x) = 1 durch sin²(x)

7

Kosekans-Kotangens-Differenzform

csc²(x) - cot²(x) = 1

Gültig, wenn sin(x) ≠ 0

8

Radikale Normalisierung des Einheitskreises

√sin²(x) + cos²(x) = 1

Geometrische Hypotenusenlänge auf dem Einheitskreis

9

Produkteinheitsidentitäten

sin(x)·csc(x) = 1, cos(x)·sec(x) = 1, tan(x)·cot(x) = 1

Reziproke Produkte ergeben Eins

➕

Winkeladdition und -subtraktion (zusammengesetzte Winkel)

8 Formeln

Formeln für die trigonometrischen Verhältnisse der Summe und Differenz zweier Winkel (A ± B)

1

Sinus der Winkelsumme

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Schlüsselformel für zusammengesetzte Winkel für die Sinusaddition

2

Sinus der Winkeldifferenz

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Wichtige zusammengesetzte Winkelformel für die Sinusdifferenz

3

Kosinus der Winkelsumme

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Beachten Sie das Minuszeichen in der Kosinussummenentwicklung

4

Kosinus der Winkeldifferenz

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Beachten Sie das Pluszeichen bei der Kosinusdifferenzentwicklung

5

Tangens der Winkelsumme

tan(A + B) = tan(A) + tan(B)1 - tan(A)tan(B)

Erfordert tan(A)tan(B) ≠ 1

6

Tangente der Winkeldifferenz

tan(A - B) = tan(A) - tan(B)1 + tan(A)tan(B)

Erfordert tan(A)tan(B) ≠ -1

7

Kotangens der Winkelsumme

cot(A + B) = cot(A)cot(B) - 1cot(B) + cot(A)

Zusammengesetzte Formel für die Kotangenssumme

8

Kotangens der Winkeldifferenz

cot(A - B) = cot(A)cot(B) + 1cot(B) - cot(A)

Zusammengesetzte Formel für die Kotangensdifferenz

✖️2️⃣

Doppelwinkelformeln (2x)

7 Formeln

Ausdrücken von Funktionen des Doppelwinkels (2x) als Einzelwinkel (x)

1

Sinus-Doppelwinkel

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

Enthält ein Formular zur rationalen Tangensparametrisierung

2

Kosinus-Doppelwinkel (Standarddifferenz)

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Direkte Konsequenz von cos(x + x)

3

Kosinus-Doppelwinkel (nur Kosinus)

cos(2x) = 2 cos²(x) - 1

Entscheidend für Integration und Leistungsreduzierung

4

Kosinus-Doppelwinkel (nur Sinus)

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

Entscheidend für Integration und Halbwinkelableitung

5

Kosinus-Doppelwinkel (Tangensparametrisierung)

cos(2x) = 1 - tan²(x)1 + tan²(x)

Weierstrass-Substitutionsrelation für Kosinus

6

Tangentialer Doppelwinkel

tan(2x) = 2 tan(x)1 - tan²(x)

Erfordert tan²(x) ≠ 1

7

Kotangens-Doppelwinkel

cot(2x) = cot²(x) - 12 cot(x)

Erfordert cot(x) ≠ 0

3️⃣

Dreiwinkelformeln (3x)

4 Formeln

Trigonometrische Funktionen von 3x, ausgedrückt in Einwinkel-Polynomformen

1

Sinus-Dreifachwinkel

sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x)

Nützlich zum Lösen kubischer Gleichungen und Algebra

2

Kosinus-Dreifachwinkel

cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)

Direktes kubisches Tschebyscheff-Polynom T₃(x) = 4x³ - 3x

3

Tangentialer Dreifachwinkel

tan(3x) = 3 tan(x) - tan³(x)1 - 3 tan²(x)

Erfordert 3tan²(x) ≠ 1

4

Kotangensdreifacher Winkel

cot(3x) = 3 cot(x) - cot³(x)1 - 3 cot²(x)

Erfordert 3cot²(x) ≠ 1

½

Halbwinkelformeln (x/2)

6 Formeln

Genaue Formeln für Halbwinkel, deren Vorzeichen durch den Quadranten von x/2 bestimmt wird

1

Sinus-Halbwinkel

sin(x2) = ±√1 - cos(x)2

±-Vorzeichen, ausgewählt basierend auf dem Quadranten, der x/2 enthält

2

Kosinus-Halbwinkel

cos(x2) = ±√1 + cos(x)2

±-Vorzeichen, ausgewählt basierend auf dem Quadranten, der x/2 enthält

3

Tangentialer Halbwinkel (radikale Form)

tan(x2) = ±√1 - cos(x)1 + cos(x)

Quadratwurzel-Halbwinkelform für Tangente

4

Tangentialer Halbwinkel (Rationale Form 1)

tan(x2) = 1 - cos(x)sin(x)

Keine Zeichenmehrdeutigkeit; exakt für alle x ≠ nπ

5

Tangentialer Halbwinkel (Rationale Form 2 / Differenz)

tan(x2) = sin(x)1 + cos(x) = csc(x) - cot(x)

Äquivalent zur Differenz csc(x) - cot(x)

6

Kotangens-Halbwinkel

cot(x2) = 1 + cos(x)sin(x) = csc(x) + cot(x)

Entspricht der Summe csc(x) + cot(x)

⚡

Formeln zur Leistungsreduzierung (quadratische und höhere Potenzen)

7 Formeln

Konvertiert Potenzen trigonometrischer Funktionen in Vielfache ersten Grades von x (wesentlich für die Integralrechnung)

1

Sinusquadrat-Leistungsreduzierung

sin²(x) = 1 - cos(2x)2

Grundrechnung Stammfunktionsreduktion: ∫sin²(x)dx

2

Kosinusquadrat-Leistungsreduzierung

cos²(x) = 1 + cos(2x)2

Grundrechnung der Stammfunktionsreduktion: ∫cos²(x)dx

3

Tangente quadratische Leistungsreduzierung

tan²(x) = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)

Rationale Kosinus-Bruchform für tan²(x)

4

Sinuswürfel-Leistungsreduzierung

sin³(x) = 3 sin(x) - sin(3x)4

Direkt abgeleitet von der dreifachen Winkelidentität sin(3x).

5

Cosinus-Würfel-Leistungsreduzierung

cos³(x) = 3 cos(x) + cos(3x)4

Direkt aus der Dreifachwinkelidentität cos(3x) abgeleitet

6

Sinusvierte Leistungsreduzierung

sin⁴(x) = 3 - 4 cos(2x) + cos(4x)8

Wird für Fourier-Reihen und Integrale höherer Ordnung verwendet

7

Kosinusvierte Potenzreduzierung

cos⁴(x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)8

Wird für Fourier-Reihen und Integrale höherer Ordnung verwendet

✖️➡️➕

Produkt-zu-Summe-Formeln

4 Formeln

Wandelt Produkte von Sinus und Cosinus in Summen- und Differenzterme um (entscheidend für Wellenmechanik und Integrale)

1

Sinus × Sinusprodukt

sin(A) sin(B) = ½ [cos(A - B) - cos(A + B)]

Wandelt Welleninterferenzprodukte in additive Komponenten um

2

Cosinus × Cosinus-Produkt

cos(A) cos(B) = ½ [cos(A - B) + cos(A + B)]

Wandelt Kosinusprodukte in additive Komponenten um

3

Sinus × Cosinus-Produkt

sin(A) cos(B) = ½ [sin(A + B) + sin(A - B)]

Produktformel für die Standardsignalmodulation

4

Kosinus × Sinusprodukt

cos(A) sin(B) = ½ [sin(A + B) - sin(A - B)]

Komplementäre Produktzerlegung

➕➡️✖️

Summe-zu-Produkt-Formeln

6 Formeln

Wandelt Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen in multiplikative Produkte um

1

Sinus + Sinussumme

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)

Erklärt das Phänomen der Schwebungsfrequenz in der Akustikwellenakustik

2

Sinus - Sinus-Differenz

sin(A) - sin(B) = 2 sin(A - B2) cos(A + B2)

Form der Differentialwellenanalyse

3

Kosinus + Kosinussumme

cos(A) + cos(B) = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)

Sogar Summe-zu-Produkt-Umrechnung

4

Kosinus - Kosinus-Differenz

cos(A) - cos(B) = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)

Beachten Sie das führende negative Vorzeichen (oder die umgekehrte Reihenfolge B - A).

5

Tangente + Tangenssumme

tan(A) + tan(B) = sin(A + B)cos(A) cos(B)

Berechnet kombinierte Tangentensteigungen

6

Tangente - Tangentendifferenz

tan(A) - tan(B) = sin(A - B)cos(A) cos(B)

Berechnet die Differenz der Tangentensteigungen

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Dreiecksgesetze und geometrische Beziehungen

7 Formeln

Gesetze zur Lösung allgemeiner schiefer Dreiecke (Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Mollweide-Formeln)

1

Sinusgesetz

asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R

R ist der Radius des umschriebenen Kreises (Circumradius)

a, b, c: Seitenlängen A, B, C: Gegensätzliche Winkel R: Zirkumradius

2

Kosinusgesetz (Seite a / Winkel A)

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

Löst SAS (Side-Angle-Side) oder SSS (Side-Side-Side)

3

Kosinusgesetz (Seite b und Seite c)

b² = a² + c² - 2ac cos(B), c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Symmetrische Versionen für die Seiten b und c

4

Gesetz der Tangenten

a - ba + b = tan[½(A - B)]tan[½(A + B)]

Historisch gesehen für logarithmische Berechnungen in der Navigation verwendet

5

Mollweides erste Formel

a + bc = cos[½(A - B)]sin(½C)

Hervorragende Formel zur Überprüfung der Konsistenz des Dreieckslösers

6

Mollweides zweite Formel

a - bc = sin[½(A - B)]cos(½C)

Komplementäre Mollweide-Konsistenzrelation

7

Trigonometrische Dreiecksfläche (SAS)

Area = ½ a b sin(C) = ½ b c sin(A) = ½ a c sin(B)

Berechnet die Fläche von zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel

⭕

Bogenlänge, Sektoren und Kreisbewegung

3 Formeln

Beziehungen, die den Winkel im Bogenmaß mit der gekrümmten Entfernung, der Sektorfläche und der Winkelgeschwindigkeit verbinden

1

Formel für die Bogenlänge

S = r x

Winkel x MUSS im Bogenmaß ausgedrückt werden (x = x° × π / 180°)

S: Bogenlänge r: Kreisradius x: Zentralwinkel (Bogenmaß)

2

Kreisförmiger Sektorbereich

Area = ½ r² x = ½ r S

x im Bogenmaß; entspricht ½ × Radius × Bogenlänge

3

Lineare Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

v = r ω, ω = xt = 2π f

Setzt die lineare Tangentialgeschwindigkeit v mit der Winkelgeschwindigkeit ω und der Frequenz f in Beziehung

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Eulers Formel, De Moivre's & Complex Trig

5 Formeln

Brücke zwischen exponentieller komplexer Analyse und polarer Trigonometrie

1

Eulers Formel

e^(ix) = cos(x) + i sin(x) = cis(x)

Verbindet die Exponentialfunktion direkt mit Sinus und Cosinus; für x=π ergibt sich e^(iπ) + 1 = 0

2

De Moivres Formel

(r cis x)ⁿ = rⁿ cis(nx) = rⁿ [cos(nx) + i sin(nx)]

Berechnet Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen sofort

3

Polare Multiplikation und Division

(r₁ cis x)(r₂ cis φ) = r₁r₂ cis(x + φ),r₁ cis xr₂ cis φ = (r₁r₂) cis(x - φ)

Größen multiplizieren/dividieren; Winkelargumente addieren/subtrahieren

4

Exponentielle Definition des Kosinus

cos(x) = e^(ix) + e^(-ix)2

Drückt den Kosinus algebraisch mithilfe komplexer Exponentialfunktionen aus

5

Exponentielle Definition von Sinus

sin(x) = e^(ix) - e^(-ix)2i

Drückt den Sinus algebraisch mithilfe komplexer Exponentialfunktionen aus

↩️

Inverse trigonometrische Identitäten

6 Formeln

Eigenschaften, Hauptwertzweigidentitäten und Summenformeln für inverse Kreisfunktionen

1

Inverse komplementäre Identitäten

sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π2, tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = π2, sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π2

Gültig für die jeweiligen Domänen: x ∈ [-1, 1], x ∈ ℝ, |x| ≥ 1

2

Inverse Tangentensummenformel

tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x + y1 - xy)

Wenn xy > 1 und x,y > 0, addiere π zum Ergebnis

3

Inverse Tangentendifferenzformel

tan⁻¹(x) - tan⁻¹(y) = tan⁻¹(x - y1 + xy)

Standardformel für die inverse Tangenssubtraktion

4

Doppelte umgekehrte Tangens-Mehrfachdarstellungen

2 tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x1 + x²) = cos⁻¹(1 - x²1 + x²) = tan⁻¹(2x1 - x²)

Entscheidend für die Weierstrass-Infinitesimalrechnung (t = tan(x/2))

5

Negative Argumente, umgekehrte Identitäten

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x), tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹(x), cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x)

Beachten Sie, dass cos⁻¹(-x) π - cos⁻¹(x) erzeugt

6

Inverse reziproke Funktionsbeziehungen

csc⁻¹(x) = sin⁻¹(1x), sec⁻¹(x) = cos⁻¹(1x), cot⁻¹(x) = tan⁻¹(1x) [x > 0]

Reziproke Argumentzuordnung für Umkehrfunktionen

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Ableitungsregeln & Differentialrechnung

Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, Ableitungen von Exponential-, Logarithmus- und Trigonometriefunktionen.

44+ Gleichungen

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Grundlegende Derivateregeln und -operationen

9 Formeln

Grundlegende operative Differenzierungsregeln für Konstanten, Potenzen und algebraische Kombinationen

1

Ableitung nach ersten Prinzipien (Grenzwertdefinition)

f'(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x))h

Grundlegende Definition der Ableitung als momentane Änderungsrate

2

Konstante Regel

ddx [c] = 0

Die Ableitung jeder Konstante c ist Null

3

Machtregel

ddx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

Gültig für alle reellen Exponenten n (n ∈ ℝ)

4

Konstante Mehrfachregel

ddx [c·f(x)] = c·f'(x)

Konstanten berücksichtigen die Differenzierung

5

Summen- und Differenzregel

ddx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

Differenzierung ist ein linearer Operator

6

Produktregel (Leibniz-Regel)

ddx [f(x)·g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Zuerst differenzieren, zweitens halten, plus zuerst halten, zweitens differenzieren

7

Quotientenregel

ddx [f(x)g(x)] = g(x)f'(x) - f(x)g'(x)[g(x)]²

Erfordert g(x) ≠ 0

8

Kettenregel (zusammengesetzte Funktionen)

ddx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

Differenzieren Sie die äußere Funktion, die von der inneren ausgewertet wird, und multiplizieren Sie sie mit der Ableitung der inneren Funktion

9

Reziproke Funktionsregel

ddx [1f(x)] = -f'(x)[f(x)]²

Direkte Verknüpfung für reziproke Funktionen

📈

Exponentielle und logarithmische Ableitungen

7 Formeln

Ableitungen natürlicher, allgemeiner Basisexponentialfunktionen und logarithmischer Funktionen

1

Natürliche exponentielle Ableitung

ddx [eˣ] = eˣ

Die eindeutige Funktion ungleich Null, die ihrer eigenen Ableitung entspricht

2

Zusammengesetztes natürliches exponentielles Derivat

ddx [e^(f(x))] = e^(f(x))·f'(x)

Kettenregel angewendet auf die natürliche Exponentialfunktion

3

Allgemeine Basis-Exponentialableitung

ddx [aˣ] = aˣ·ln(a)

Gültig für a > 0, a ≠ 1

4

Ableitung des natürlichen Logarithmus

ddx [ln(x)] = 1x

Für absolute Werte: d/dx [ln|x|] = 1 / x (x ≠ 0)

5

Zusammengesetzte natürliche Logarithmus-Ableitung

ddx [ln(f(x))] = f'(x)f(x)

Logarithmische Ableitung / relative Änderungsrate

6

Allgemeine Basislogarithmus-Ableitung

ddx [log_a(x)] = 1x·ln(a)

Änderung der Basisdifferenzierungsformel

7

Variablenbasis und Variablenexponent (xˣ)

ddx [xˣ] = xˣ·(1 + ln(x))

Abgeleitet durch logarithmische Differentiation y = xˣ ⇒ ln y = x ln x

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Ableitungen trigonometrischer Funktionen

7 Formeln

Ableitungen aller sechs trigonometrischen Standardfunktionen (sin, cos, tan, cot, sec, csc)

1

Ableitung von Sinus

ddx [sin(x)] = cos(x)

Die Änderungsrate des Sinus ist der Kosinus

2

Ableitung des Kosinus

ddx [cos(x)] = -sin(x)

Beachten Sie das negative Vorzeichen für die „Co-“-Funktion

3

Ableitung der Tangente

ddx [tan(x)] = sec²(x)

Auch gleich 1 + tan²(x)

4

Ableitung des Kotangens

ddx [cot(x)] = -csc²(x)

Auch gleich -(1 + cot²(x))

5

Ableitung von Sekante

ddx [sec(x)] = sec(x)·tan(x)

Produkt aus Sekante und Tangente

6

Ableitung des Kosekans

ddx [csc(x)] = -csc(x)·cot(x)

Produkt aus Kosekans und Kotangens mit negativem Vorzeichen

7

Zusammengesetzte trigonometrische Kettenform

ddx [sin(f(x))] = cos(f(x))·f'(x), ddx [cos(f(x))] = -sin(f(x))·f'(x)

Standardmäßige verallgemeinerte trigonometrische Kettenregel

↩️

Inverse trigonometrische Ableitungen

6 Formeln

Ableitungen von Umkehrsinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekans

1

Ableitung des Umkehrsinus

ddx [sin⁻¹(x)] = 1√1 - x²

Domäne streng zwischen -1 und 1

2

Ableitung des Umkehrkosinus

ddx [cos⁻¹(x)] = -1√1 - x²

Exaktes Negativ der inversen Sinusableitung

3

Ableitung des Umkehrtangens

ddx [tan⁻¹(x)] = 11 + x²

Gilt für alle reellen Zahlen ohne Singularität

4

Ableitung des inversen Kotangens

ddx [cot⁻¹(x)] = -11 + x²

Exaktes Negativ der Umkehrtangensableitung

5

Ableitung der inversen Sekante

ddx [sec⁻¹(x)] = 1|x|·√x² - 1

Erfordert |x| > 1

6

Ableitung des umgekehrten Kosekans

ddx [csc⁻¹(x)] = -1|x|·√x² - 1

Exaktes Negativ der inversen Sekantenableitung

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Hyperbolische und inverse hyperbolische Ableitungen

9 Formeln

Ableitungen von sinh, cosh, tanh und ihren jeweiligen Umkehrfunktionen

1

Ableitung des hyperbolischen Sinus (sinh x)

ddx [sinh(x)] = cosh(x)

Beachten Sie kein negatives Vorzeichen (im Gegensatz zum regulären Kosinus).

2

Ableitung des hyperbolischen Kosinus (cosh x)

ddx [cosh(x)] = sinh(x)

Positive Änderungsrate

3

Ableitung des hyperbolischen Tangens (tanh x)

ddx [tanh(x)] = sech²(x)

Entscheidend für die Backpropagation der neuronalen Netzwerkaktivierung

4

Ableitung des hyperbolischen Kotangens (coth x)

ddx [coth(x)] = -csch²(x)

Negativer hyperbolischer Kosekans im Quadrat

5

Ableitung der hyperbolischen Sekante (sech x)

ddx [sech(x)] = -sech(x)·tanh(x)

Negatives hyperbolisches Produkt

6

Ableitung des hyperbolischen Kosekans (csch x)

ddx [csch(x)] = -csch(x)·coth(x)

Negatives hyperbolisches Produkt

7

Ableitung des umgekehrten hyperbolischen Sinus

ddx [arsinh(x)] = 1√x² + 1

Gültig für alle reellen x

8

Ableitung des inversen hyperbolischen Kosinus

ddx [arcosh(x)] = 1√x² - 1

Gültig für x > 1

9

Ableitung des umgekehrten hyperbolischen Tangens

ddx [artanh(x)] = 11 - x²

Gültig für |x| < 1

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Fortgeschrittene Differenzierungstechniken und Theoreme

6 Formeln

Implizite Differentiation, parametrische Kurven, L’Hôpital-Regel und Taylor-Entwicklungen

1

Parametrische erste Ableitung (dy/dx)

dydx = dydtdxdt

Berechnet die Tangentensteigung der Kurve aus den parametrischen Gleichungen x(t), y(t)

2

Parametrische zweite Ableitung (d²y/dx²)

d²ydx² = [ddt (dydx)]dxdt

Berechnet die Konkavität parametrischer Kurven

3

L'Hôpital-Regel (0/0- oder ∞/∞-Grenzwerte)

lim[x→c] f(x)g(x) = lim[x→c] f'(x)g'(x)

Löst unbestimmte Grenzwerte durch unabhängige Differenzierung von Zähler und Nenner auf

4

Mittelwertsatz (MVT)

f'(c) = f(b) - f(a)b - a

Garantiert einen Punkt, an dem die momentane Änderungsrate der durchschnittlichen Änderungsrate entspricht

5

Taylorreihenentwicklung um x = a

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(a)n!)·(x - a)ⁿ

Polynomische Approximation glatter differenzierbarer Funktionen

6

Erweiterung der Maclaurin-Reihe (a = 0)

f(x) = ∑[n = 0→∞] (f⁽ⁿ⁾(0)n!)·xⁿ

Taylor-Reihe mit Mittelpunkt im Ursprung (x = 0)

∫

Integrale & Standard-Stammfunktionen

Standard-Stammfunktionen, Exponential-, Logarithmus-, trigonometrische Integrale und partielle Integration.

54+ Gleichungen

∫

Grundlegende Integrationsregeln und -befugnisse

6 Formeln

Elementare Stammfunktionsregeln für Konstanten, algebraische Potenzen und Linearkombinationen

1

Konstantes Integral

∫ k dx = k·x + C

Die Stammfunktion einer Konstanten k ist k·x + C

2

Machtregel der Integration

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

Gültig für alle reellen Potenzen n außer n = -1

3

Reziprokes Funktionsintegral (1/x)

∫ (1x) dx = ln|x| + C

Entscheidender Sonderfall für n = -1 in der Potenzregel

4

Linearitätsregel der Integration

∫ [a·f(x) ± b·g(x)] dx = a ∫ f(x) dx ± b ∫ g(x) dx

Integration ist eine lineare funktionale Operation

5

Lineare zusammengesetzte Potenzregel

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

Abkürzung für lineare Binomialpotenzen

6

Lineares zusammengesetztes reziprokes Integral

∫ (1ax + b) dx = (1a)·ln|ax + b| + C

Standardformel für die lineare Nennerintegration

📈

Exponentielle und logarithmische Integrale

6 Formeln

Stammfunktionen mit natürlichem eˣ, allgemeiner Basis aˣ und logarithmischen Termen

1

Natürliches Exponentialintegral

∫ eˣ dx = eˣ + C

Die Funktion entspricht bis zur Konstante C ihrer eigenen Stammfunktion

2

Skaliertes Exponentialintegral (eᵃˣ)

∫ e^(ax) dx = (1a)·e^(ax) + C

Standardskalierte exponentielle Integrationsregel

3

Allgemeines Basis-Exponentialintegral (aˣ)

∫ aˣ dx = aˣln(a)+ C

Dividiert durch ln(a), da die Ableitung mit ln(a) multipliziert wird.

4

Natürliches Logarithmus-Integral

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C

Abgeleitet durch partielle Integration mit u = ln x, dv = dx

5

Allgemeines Basislogarithmus-Integral

∫ log_a(x) dx = x·ln(x) - xln(a)+ C

Änderung der Basisintegration für Logarithmen

6

Produktintegral (x · eˣ)

∫ x·eˣ dx = eˣ(x - 1) + C

Klassische Integration durch Teileanwendung

📐

Grundlegende trigonometrische Integrale

6 Formeln

Direkte Stammfunktionen, die den trigonometrischen Standardableitungen entsprechen

1

Integral des Sinus

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

Beachten Sie das negative Vorzeichen in der Stammfunktion des Sinus

2

Integral des Kosinus

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Direkte standardisierte trigonometrische Stammfunktion

3

Integral des Sekantenquadrats

∫ sec²(x) dx = tan(x) + C

Weil die Ableitung des Tangens das Sekantenquadrat ist

4

Integral des Kosekantenquadrats

∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C

Da die Ableitung des Kotangens -csc²(x) ist

5

Integral von Sekante × Tangente

∫ sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C

Direkte Ableitungsumkehr von sec(x)

6

Integral von Kosekans × Kotangens

∫ csc(x) cot(x) dx = -csc(x) + C

Direkte Ableitungsumkehr von csc(x)

⚡

Erweiterte und quadrierte trigonometrische Integrale

8 Formeln

Integrale von tan, cot, sec, csc und quadrierten trigonometrischen Termen

1

Integral der Tangente

∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C = -ln|cos(x)| + C

Bewertet durch Substitution u = cos(x)

2

Integral des Kotangens

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C = -ln|csc(x)| + C

Bewertet durch Substitution u = sin(x)

3

Integral der Sekante

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Berühmte Integralrechnung multipliziert mit (sec x + tan x)/(sec x + tan x)

4

Integral des Kosekans

∫ csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C = ln|tan(x2)| + C

Standardmäßiges logarithmisches Kosekansintegral

5

Integral des Sinusquadrats (sin² x)

∫ sin²(x) dx = (x2) - (sin(2x)4) + C

Bewertet anhand der Leistungsreduzierungsidentität sin²(x) = (1 - cos 2x)/2

6

Integral des Kosinusquadrats (cos² x)

∫ cos²(x) dx = (x2) + (sin(2x)4) + C

Bewertet anhand der Leistungsreduzierungsidentität cos²(x) = (1 + cos 2x)/2

7

Integral des Tangentenquadrats (tan² x)

∫ tan²(x) dx = tan(x) - x + C

Bewertet mit der Identität tan²(x) = sec²(x) - 1

8

Integral des Kotangens im Quadrat (cot² x)

∫ cot²(x) dx = -cot(x) - x + C

Ausgewertet anhand der Identität cot²(x) = csc²(x) - 1

↩️

Integrale, die inverse trigonometrische Funktionen ergeben

5 Formeln

Standardalgebraische Bruchintegrale, deren Stammfunktionen inverse trigonometrische Funktionen sind

1

Integraler inverser Sinus

∫ (1√a² - x²) dx = sin⁻¹(xa) + C

Beachten Sie, dass es für den Umkehrsinus keinen 1/a-Faktor gibt

2

Integraler nachgebender Umkehrtangens

∫ (1a² + x²) dx = (1a)·tan⁻¹(xa) + C

Im Gegensatz zum Umkehrsinus ist der 1/a-Koeffizient erforderlich

3

Integrale nachgebende inverse Sekante

∫ (1x·√x² - a²) dx = (1a)·sec⁻¹(|x|a) + C

Beinhaltet den 1/a-Koeffizienten und den Absolutwert |x|

4

Integral von 1 / (x² - a²)

∫ (1x² - a²) dx = (12a)·ln|(x - a)x + a| + C

Erhalten durch Teilbruchzerlegung 1/(x²-a²)

5

Integral von 1 / (a² - x²)

∫ (1a² - x²) dx = (12a)·ln|(a + x)a - x| + C

Erhalten durch Teilbruchzerlegung 1/(a²-x²)

√

Spezielle radikalische Quadratwurzelintegrale

4 Formeln

Durch trigonometrische Substitution gelöste Standardradikalintegrale (x = a sin θ, a tan θ, a sec θ)

1

Integral von √(a² - x²)

∫ √a² - x² dx = (x2)√a² - x² + (a²2)sin⁻¹(xa) + C

Wird zur Berechnung kreisförmiger und elliptischer Sektorflächen verwendet

2

Integral von √(x² + a²)

∫ √x² + a² dx = (x2)√x² + a² + (a²2)ln|x + √x² + a²| + C

Gelöst durch Substitution x = a tan θ oder hyperbolisch x = a sinh u

3

Integral von √(x² - a²)

∫ √x² - a² dx = (x2)√x² - a² - (a²2)ln|x + √x² - a²| + C

Gelöst durch Substitution x = a sec θ oder hyperbolisch x = a cosh u

4

Integral von 1 / √(x² ± a²)

∫ (1√x² ± a²) dx = ln|x + √x² ± a²| + C

Auch gleich arsinh(x/a) bzw. arcosh(x/a).

〰️

Hyperbolische Funktionsintegrale

6 Formeln

Stammfunktionen für sinh, cosh, tanh und hyperbolische trigonometrische Formen

1

Integral des hyperbolischen Sinus (sinh x)

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

Positiver cosh(x) + C (kein negatives Vorzeichen)

2

Integral des hyperbolischen Kosinus (cosh x)

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

Direkte hyperbolische Stammfunktion

3

Integral des hyperbolischen Tangens (tanh x)

∫ tanh(x) dx = ln(cosh x) + C

Da cosh x > 0 für alle reellen x ist, ist kein absoluter Wert erforderlich

4

Integral des hyperbolischen Sekantenquadrats (sech² x)

∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C

Direkte Stammfunktion mit tanh(x)

5

Integral des hyperbolischen Kosekantenquadrats (csch² x)

∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C

Negativer hyperbolischer Kotangens

6

Integral von sech(x) · tanh(x)

∫ sech(x) tanh(x) dx = -sech(x) + C

Stammfunktion des hyperbolischen Sekanten-Tangens-Produkts

🛠️

Integrationstechniken und -methoden

4 Formeln

Allgemeine analytische Integrationsmethoden: Teile, Substitution und Teilbrüche

1

Integration nach Teileformel

∫ u dv = u·v - ∫ v du

Wählen Sie u mithilfe der LIATE-Regel (logarithmisch, invers trigonometrische, algebraisch, trigonometrische, exponentiell).

2

Integration durch U-Substitution (Variablenänderung)

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du

Kehrt die Kettenregel der Differenzierung um

3

Weierstrass-Halbwinkelsubstitution (t = tan(x/2))

sin(x) = 2t1+t², cos(x) = 1-t²1+t², dx = 2dt1+t²

Wandelt jedes rationale trigonometrische Integral in ein rationales polynomiales algebraisches Integral um

4

Logarithmische Ableitungsform (∫ f'(x)/f(x) dx)

∫ (f'(x)f(x)) dx = ln|f(x)| + C

Immer wenn der Zähler die genaue Ableitung des Nenners ist

📊

Bestimmte Integrale und Fundamentalsätze

5 Formeln

Fundamentalsatz der Analysis (FTC), Symmetrieeigenschaften und Leibniz-Regel

1

Fundamentalsatz der Analysis (Teil 1 – Differentiation von Integralen)

ddx [ ∫xa f(t) dt ] = f(x)

Verbindet Differenzierung und Integration als inverse mathematische Operationen

2

Fundamentalsatz der Analysis (Teil 2 – Bewertungssatz)

∫ba f(x) dx = F(b) - F(a)

Wertet die Nettofläche und die akkumulierte Änderung über das Intervall [a, b] aus.

3

Leibniz-Regel zur Differenzierung nach dem Integralzeichen

ddx [ ∫v(x)u(x) f(t) dt ] = f(v(x))·v'(x) - f(u(x))·u'(x)

Kettenregel erweitert auf variable untere und obere Integrationsgrenzen

4

Bestimmte integrale gerade/ungerade Funktionssymmetrie auf [-a, a]

Even: ∫a-a f(x) dx = 2 ∫a0 f(x) dx, Odd: ∫a-a f(x) dx = 0

Sofortige Vereinfachung für symmetrische Integrationsgrenzen [-a, a]

5

Mittelwertsatz für bestimmte Integrale

f_avg = (1b - a)·∫ba f(x) dx = f(c)

Berechnet den wahren Durchschnittswert einer stetigen Funktion über [a, b]

🔁

Trigonometrische Reduktionsformeln

4 Formeln

Rekursive Reduktionsformeln zur Integration höherer trigonometrischer Potenzen (sinⁿ x, cosⁿ x, tanⁿ x, secⁿ x)

1

Formel zur Sinusleistungsreduzierung

∫ sinⁿ(x) dx = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x)n+ (n - 1n) ∫ sinⁿ⁻²(x) dx

Reduziert die Sinusleistung bei jeder Iteration um 2

2

Formel zur Kosinusleistungsreduzierung

∫ cosⁿ(x) dx = cosⁿ⁻¹(x)sin(x)n+ (n - 1n) ∫ cosⁿ⁻²(x) dx

Reduziert die Kosinuspotenz bei jeder Iteration um 2

3

Tangentenleistungsreduzierungsformel

∫ tanⁿ(x) dx = tanⁿ⁻¹(x)n - 1 - ∫ tanⁿ⁻²(x) dx

Schnelle algebraische Reduktion für tanⁿ(x)

4

Formel zur Reduzierung der Sekantenleistung

∫ secⁿ(x) dx = secⁿ⁻²(x)tan(x)n - 1 + (n - 2n - 1) ∫ secⁿ⁻²(x) dx

Reduziert höhere Sekantenpotenzen (z. B. ∫sec³ x dx)

🧮

Vollständige Mathematik-Sammlung

Algebraische Identitäten, 2D/3D-Geometrie, Matrizen, Vektoren, Reihen, Differentialgleichungen und Wahrscheinlichkeit.

54+ Gleichungen

🔢

Kapitel 1: Algebraische Identitäten, Polynome und Ungleichungen

9 Formeln

Binomialentwicklungen, Summe/Differenz von Würfeln, Vieta-Relationen, Binomialsatz und grundlegende Ungleichungen

1

Quadratische Gleichungsformel und Wurzeln

x = -b ± √b² - 4ac2a

Lösungen zur quadratischen Standardgleichung ax² + bx + c = 0; Die Diskriminante Δ = b² - 4ac bestimmt die reale/komplexe Natur

x: Wurzeln einer quadratischen Gleichung a, b, c: Polynomkoeffizienten (a ≠ 0) Δ = b² - 4ac: Diskriminante (Δ > 0 eindeutige reelle, Δ = 0 wiederholte, Δ < 0 komplexe Konjugate)

2

Binomiale Quadrat- und Würfelerweiterungsidentitäten

(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Grundlegende Polynomentwicklungen algebraischer Binome

a, b: Algebraische Begriffe oder reelle Zahlen

3

Trinomiale quadratische Identität

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

Erweiterung des Quadrats einer Summe von drei Termen

a, b, c: Algebraische Variablen

4

Differenz- und Würfelsummenfaktorisierung

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Exakte algebraische Faktorisierungen für Summe und Differenz kubischer Terme

a, b: Grundbegriffe

5

Eulers kubische Identität mit drei Variablen

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

Sonderfall: Wenn a + b + c = 0, dann a³ + b³ + c³ = 3abc

a, b, c: Reale oder komplexe Variablen

6

Allgemeiner Binomialsatz

(x + y)ⁿ = ∑[k = 0 to n] (n!k!(n - k)!)·xⁿ⁻ᵏ·yᵏ

Erweitert jede positive ganzzahlige Potenz einer Binomialsumme mithilfe kombinatorischer Koeffizienten

n: Nichtnegative ganzzahlige Potenz k: Termindex (0 bis n)

7

Vietas Formeln für Polynomwurzeln

Quadratic: r₁ + r₂ = -ba, r₁·r₂ = ca; Cubic: ∑ r_i = -ba, ∑ r_i r_j = ca, r₁r₂r₃ = -da

Direkte Beziehungen zwischen Polynomwurzeln und Koeffizienten

r_i: Wurzeln des Polynoms P(x) = 0

8

AM-GM-HM Klassische Mittelungleichung

AM ≥ GM ≥ HM ⟹ a₁ + a₂ + ... + a_nn ≥ ⁿ√a₁·a₂·...·a_n ≥ n1a₁+1a₂+ ... +1a_n

Gleichheit gilt genau dann, wenn alle Elemente a₁ = a₂ = ... = a_n

AM: Arithmetisches Mittel GM: Geometrisches Mittel HM: Harmonisches Mittel

9

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

(∑[i = 1 to n] a_i·b_i)² ≤ (∑[i = 1 to n] a_i²)·(∑[i = 1 to n] b_i²)

Universelle Ungleichheit in realen/komplexen inneren Produkträumen

a_i, b_i: Folgen reeller Zahlen oder Vektorkomponenten

📐

Kapitel 2: 2D-Koordinatengeometrie und Kegelschnitte

8 Formeln

Distanz, Schnittformeln, Geraden, Kreise, Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln

1

2D-euklidische Abstands- und Abschnittsformel

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², x = m·x₂ ± n·x₁m ± n

Gerader Abstand und interne/externe Verhältnisteilung des Liniensegments, das (x₁, y₁) und (x₂, y₂) verbindet

d: Euklidischer Abstand m : n: Segmentteilungsverhältnis

2

Schnürsenkeldreieck- und Polygonflächenformel

Area = ½·|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

Berechnet die planare Fläche aus den Koordinaten von 3 Eckpunkten; Nullbereich impliziert Kollinearität

(x_i, y_i): Scheitelpunktkoordinaten

3

Geradengleichungen und senkrechte Distanz

y - y₁ = m·(x - x₁), d_perp = |A·x₀ + B·y₀ +C|√A² + B²

Punkt-Steigungsgleichung und kürzester senkrechter Abstand vom Punkt (x₀, y₀) zur Linie Ax + By + C = 0

m: Liniensteigung (tan θ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) d_perp: Senkrechter Abstand zur Linie

4

Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien

tan(θ) = |(m₂ - m₁)1 + m₁·m₂|

Spitzer Schnittwinkel; parallele Linien haben m₁ = m₂; Senkrechte Linien haben m₁·m₂ = -1

m₁, m₂: Steigungen der beiden Schnittlinien

5

Kreis-Standard- und allgemeine Form

(x - h)² + (y - k)² = r², x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ⟹ r = √g² + f² - c

Kreisgleichung mit Mittelpunkt (h, k) und Radius r

(h, k): Koordinaten des Kreismittelpunkts r: Kreisradius

6

Parabel-Standardform und Exzentrizität

y² = 4ax, Focus: (a, 0), Directrix: x = -a, Latus Rectum: 4a, e = 1

Ort der Punkte mit gleichem Abstand vom Fokus und der Leitlinie (Exzentrizität e = 1)

a: Brennweitenparameter

7

Ellipse-Standardform, Exzentrizität und Fläche

x²a²+y²b² = 1, e = √1 -b²a², Foci: (±ae, 0), Area = π·a·b

Standardmäßige horizontale Ellipse mit großer Halbachse a, kleiner Halbachse b und Exzentrizität e < 1

a, b: Halb-Dur- und Halb-Moll-Achsen e: Exzentrizität (0 < e < 1)

8

Hyperbel-Standardform und Asymptoten

x²a²-y²b² = 1, e = √1 +b²a², Asymptotes: y = ±(ba)·x

Kegelschnitt mit Exzentrizität e > 1 und linearen Asymptoten durch den Ursprung

e: Hyperbolische Exzentrizität (e > 1)

🧊

Kapitel 3: 3D-Volumengeometrie und Vermessung

6 Formeln

3D-Distanz, Kugeln, Zylinder, Kegel, Kegelstümpfe, Toroide und 3D-Ebenengleichungen

1

3D-Entfernungsformel und Kugelgleichung

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)², (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

Euklidischer Abstand im kartesischen 3D-Raum und Kugelgleichung mit Mittelpunkt (x₀, y₀, z₀) und Radius R

d: 3D räumliche Distanz R: Kugelradius

2

Formeln zur Kugel- und Zylindermessung

Sphere: V = (43)·π·R³, A = 4·π·R²; Cylinder: V = π·r²·h, A_total = 2·π·r·(r + h)

Formeln für volumetrische Kapazität und Gesamtoberfläche für feste 3D-Kugeln und -Zylinder

R, r: Radien h: Höhe des Zylinders

3

Rechtes Kreiskegel- und Kegelstumpfvolumen

Cone: V = (13)·π·r²·h, l = √r² + h²; Frustum: V = (13)·π·h·(R² + r² + R·r)

Schräghöhe l, Mantelfläche A_lat = π·r·l und Kegelstumpfvolumen

R, r: Basis- und Spitzenradien des Kegelstumpfes h: Vertikale Höhe l: Schräge Höhe

4

Torus (Donut) Volumen und Oberfläche

V_torus = 2·π²·R·r², A_torus = 4·π²·R·r

Rotationskörper, der durch Drehung eines Kreises mit dem Radius r um eine Achse mit dem Hauptradius R vom Mittelpunkt (R ≥ r) erzeugt wird.

R: Hauptradius (Abstand von der Rohrmitte zur Torusmitte) r: Kleiner Radius (Rohrradius)

5

3D-Ebenengleichung und Normalenvektor

A·(x - x₀) + B·(y - y₀) + C·(z - z₀) = 0 ⟹ Ax + By + Cz + D = 0

Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt (x₀, y₀, z₀) verläuft, mit Normalenvektor n = <A, B, C>

A, B, C: Richtungszahlen des Normalenvektors

6

Kürzester Abstand zwischen Schräglinien in 3D

d = |(a₂ - a₁)·(b₁ × b₂)||b₁ × b₂|

Berechnet den absolut kürzesten Abstand zwischen zwei sich nicht schneidenden, nicht parallelen 3D-Linien r₁ = a₁ + λb₁ und r₂ = a₂ + μb₂

a₁, a₂: Positionieren Sie die Vektoren auf den Zeilen 1 und 2 b₁, b₂: Richtungsvektoren der Linien 1 und 2

📊

Kapitel 4: Lineare Algebra und Matrixtheorie

5 Formeln

Determinanten, Matrixinversen, Cramer-Regel, Eigenwerte, Eigenvektoren und Satz von Cayley-Hamilton

1

Matrixdeterminante (2×2 und 3×3)

det(A_2x2) = ad - bc, det(A_3x3) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Skalarwert-Skalierungsvolumen unter linearer Transformation; det(A) = 0 zeigt eine nicht invertierbare singuläre Matrix an

det(A): Determinante der Matrix A

2

Matrix-Umkehr- und Adjugatformel

A⁻¹ = (1det(A))·adj(A) = (1det(A))·(C)^T

Matrixinverse, wobei adj(A) die Transponierte der Cofaktormatrix C ist

A⁻¹: Multiplikative inverse Matrix mit A · A⁻¹ = I adj(A): Adjugierte / klassische adjungierte Matrix

3

Cramers Regel für lineare Systeme

x_i = det(A_i)det(A)

Explizite algebraische Formel zur Lösung eines Systems aus n linearen Gleichungen Ax = b, wobei A_i die Spalte i durch b ersetzt

x_i: Lösungsvektorkomponenten A_i: Matrix, die durch Ersetzen der i-ten Spalte durch den Konstantenvektor b gebildet wird

4

Eigenwerte und charakteristische Gleichung

det(A - λ·I) = 0, (A - λ·I)·v = 0

Charakteristische Polynomwurzeln ergeben skalare Eigenwerte λ; entsprechende Nicht-Null-Vektoren v sind Eigenvektoren

λ: Eigenwertskalar I: Identitätsmatrix v: Eigenvektor

5

Spur- und Determinanteneigenwertbeziehungen

tr(A) = ∑[i = 1 to n] λ_i = ∑[i = 1 to n] a_ii, det(A) = ∏[i = 1 to n] λ_i

Matrixspur entspricht der Summe der Eigenwerte; Determinante ist gleich Produkt aller Eigenwerte

tr(A): Spur der Matrix (Summe der Hauptdiagonalelemente) λ_i: Menge aller Eigenwerte

🧭

Kapitel 5: Vektorrechnung und Feldoperatoren

5 Formeln

Punkt- und Kreuzprodukte, Dreifachprodukte, Gradient, Divergenz, Curl und Laplace-Funktion

1

Vektorpunkt- (Skalar) und Kreuzprodukte (Vektor).

u·v = |u||v|·cos(θ) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z, |u × v| = |u||v|·sin(θ)

Grundlegende Vektorprodukte: Skalarprodukt ergibt Skalarprojektion; Kreuzprodukt ergibt orthogonalen Vektor

u·v: Skalarprodukt u × v: Vektorprodukt θ: Winkel zwischen Vektoren

2

Tripelprodukte (Skalartripel und BAC-CAB-Regel)

[u v w] = u·(v × w), a × (b × c) = b·(a·c) - c·(a·b)

Das Skalartripelprodukt berechnet das Volumen eines Parallelepipeds. Die BAC-CAB-Regel erweitert Doppelkreuzprodukte

[u v w]: Volumen des durch die Vektoren u, v, w gebildeten Parallelepipeds

3

Gradient eines Skalarfeldes (∇f)

∇f = (∂f∂x)·î + (∂f∂y)·ĵ + (∂f∂z)·k̂

Vektor, der in Richtung der maximalen Anstiegsgeschwindigkeit der Skalarfunktion f zeigt; Die Größe entspricht der maximalen Steigung

∇f: Gradientenvektorfeld f(x, y, z): Differenzierbares Skalarfeld

4

Divergenz (∇·F) und Krümmung (∇×F) von Vektorfeldern

∇·F = ∂F_x∂x+∂F_y∂y+∂F_z∂z,  ∇ × F = (∂F_z∂y-∂F_y∂z)·î + (∂F_x∂z-∂F_z∂x)·ĵ + (∂F_y∂x-∂F_x∂y)·k̂

Divergenz misst die nach außen gerichtete Flussdichte (∇·F = 0 ist magnetisch); Curl misst die Rotationswirbelstärke (∇×F = 0 ist rotationsfrei)

∇·F: Divergenz-Skalarfeld ∇ × F: Curl-Vektorfeld

5

Laplace-Operator (∇²f)

∇²f = ∇·(∇f) = ∂²f∂x² + ∂²f∂y² + ∂²f∂z²

Differentialoperator zweiter Ordnung, der harmonische Potentiale, Wärmediffusion und Wellenausbreitung regelt

∇²f: Laplacesches Skalarfeld (∇²f = 0 ist die Laplace-Gleichung)

🔄

Kapitel 6: Multivariable Integralsätze

4 Formeln

Green-Theorem, Stokes-Theorem, Gauß-Divergenz-Theorem und Jacobi-Theorem

1

Satz von Green in der Ebene

∮[C] (L dx + M dy) = ∬[D] (∂M∂x - ∂L∂y) dA

Setzt das Linienintegral gegen den Uhrzeigersinn um die positiv orientierte einfache geschlossene Kurve C in Beziehung zum Doppelintegral über dem umschlossenen Bereich D

C: Grenzkurve ∂D D: Geschlossener planarer 2D-Bereich

2

Stokes‘ Curl-Theorem

∮[C] F·dr = ∬[S] (∇ × F)·dS

Setzt das Zirkulationslinienintegral entlang der Grenzkurve C in Beziehung zum Oberflächenflussintegral der Krümmung ∇×F über der orientierbaren Oberfläche S

F: Vektorfeld S: Orientierte glatte Oberfläche, begrenzt durch Kurve C

3

Gaußscher Divergenzsatz

∯[S] F·dS = ∭[V] (∇·F) dV

Der nach außen gerichtete Nettofluss des Vektorfelds F über die geschlossene Oberfläche S entspricht dem Volumenintegral der Divergenz ∇·F im gesamten Innenvolumen V

S: Geschlossene Grenzfläche ∂V V: Geschlossenes 3D-Raumvolumen

4

Jacobi-Determinante für die Koordinatensubstitution

J = ∂(x, y)∂(u, v) = (∂x∂u)(∂y∂v) - (∂x∂v)(∂y∂u), dx dy = |J| du dv

Flächen-/Volumen-Skalierungsfaktor bei multivariabler Variablenänderung (Polar: J = r; Sphärisch: J = ρ² sin φ)

J: Determinante der Jacobi-Matrix

🌐

Kapitel 7: Komplexe Zahlen und komplexe Analyse

4 Formeln

Euler-Formel, Satz von De Moivre, Cauchy-Riemann-Analytik und Cauchy-Residuensatz

1

Komplexe Polar-, Modul- und Euler-Darstellung

z = x + iy = r·(cos(θ) + i·sin(θ)) = r·e^(iθ), r = √x² + y², θ = tan⁻¹(yx)

Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl in der Argand-Ebene

r = |z|: Modul / absolute Größe θ: Hauptargument Phasenwinkel i: Imaginäre Einheit (i² = -1)

2

Der Satz von De Moivre und die n-ten Wurzeln der Einheit

(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) = e^(inθ), z_k = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)n)

Berechnet ganzzahlige/gebrochene Potenzen und symmetrische n-te Wurzeln in der komplexen Ebene

n: Power- oder Root-Index k: Wurzelzweigindex (0, 1, ..., n-1)

3

Cauchy-Riemann-Analytizitätsgleichungen

∂u∂x = ∂v∂y, ∂u∂y = -(∂v∂x)

Notwendige und ausreichende Bedingungen dafür, dass die komplexe Funktion f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) holomorph / komplex differenzierbar ist

u(x, y): Realteil einer komplexen Funktion v(x, y): Imaginärer Teil einer komplexen Funktion

4

Cauchys Integralformel und Residuensatz

f(z₀) = (12πi)·∮[C] (f(z)z - z₀) dz, ∮[C] f(z) dz = 2πi·∑ Res(f, z_k)

Wertet Konturintegrale über eingeschlossene Singularitäten und Residuen aus Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z - z₀)f(z)

Res(f, z_k): Rest am isolierten Pol z_k

📈

Kapitel 8: Folgen, unendliche Reihen und Fourier-Analyse

4 Formeln

Geometrische und AGP-Reihen, Taylor- und Maclaurin-Erweiterungen und Fourier-Reihen

1

Geometrische Progression (endliche und unendliche Summe)

S_n = a·(1 - rⁿ)1 - r, S_∞ = a1 - r (|r| < 1)

Summe der geometrischen Progression mit erstem Term a und gemeinsamem Verhältnis r

a: Erste Amtszeit r: Gemeinsames Verhältnis S_∞: Unendliche Summe (konvergiert, wenn |r| < 1)

2

Erweiterung der Taylor & Maclaurin-Serie

f(x) = ∑[n = 0 to ∞] (fⁿ(a)n!)·(x - a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)2!)(x - a)² + ...

Darstellung der glatten Funktion als unendliche Polynomsumme von Ableitungen am Entwicklungspunkt a (Maclaurin, wenn a = 0)

fⁿ(a): n-te Ableitung von f, ausgewertet am Punkt a n!: Fakultät (n! = n · (n - 1) · ... · 1)

3

Standard-Maclaurin-Reihe (eˣ, sin x, cos x, ln(1+x))

eˣ = 1 + x +x²2!+x³3!+ ..., sin x = x -x³3!+x⁵5!- ..., cos x = 1 -x²2!+x⁴4!- ...

Darstellungen unendlicher Potenzreihen mit unendlichem Konvergenzradius (R = ∞)

x: Reale oder komplexe Variable

4

Fourier-Reihenentwicklung der periodischen Funktion

f(x) = a₀2+ ∑[n = 1 to ∞] [a_n·cos(nπxL) + b_n·sin(nπxL)]

Zerlegt die periodische Wellenform der Periode 2L in eine unendliche Summe harmonischer sinusförmiger orthogonaler Komponenten

a_n, b_n: Fourier-Spektralkoeffizienten: a_n = (1/L) ∫[-L bis L] f(x) cos(nπx/L) dx 2L: Grundlegende Funktionsperiode

⚡

Kapitel 9: Differentialgleichungen (ODE & PDE)

4 Formeln

Integrationsfaktoren erster Ordnung, ODEs mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung, Laplace-Transformationen und PDEs

1

Lineare ODE 1. Ordnung (Integrierende Faktormethode)

dydx + P(x)·y = Q(x) ⟹ y·e^(∫ P dx) = ∫ Q(x)·e^(∫ P dx) dx + C

Allgemeine Lösungsmethode mit Integrationsfaktor I(x) = exp(∫P dx)

I(x): Integrationsfaktor e^(∫ P dx) C: Beliebige Integrationskonstante

2

Lineare homogene ODE 2. Ordnung (charakteristische Wurzeln)

a·y'' + b·y' + c·y = 0 ⟹ a·λ² + b·λ + c = 0, λ = -b ± √b² - 4ac2a

Wurzeln bestimmen die Lösungsform: eindeutig reell (C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x), wiederholt ((C₁ + C₂x)e^λx), komplex α±iβ (e^αx(C₁cos βx + C₂sin βx))

λ: Wurzeln der charakteristischen Gleichung C₁, C₂: Rand-/Anfangsbedingungskonstanten

3

Laplace-Transformation und abgeleitete Eigenschaft

L{f(t)} = F(s) = ∫∞0 e^(-st)·f(t) dt, L{f'(t)} = s·F(s) - f(0)

Wandelt lineare Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen im S-Bereich komplexer Frequenzen um

F(s): Laplace-S-Domänenfunktion s: Komplexer Frequenzparameter (σ + iω)

4

Klassische partielle Differentialgleichungen (Welle, Wärme, Laplace)

Wave: ∂²u∂t² = c²·(∂²u∂x²);   Heat: ∂u∂t = α·(∂²u∂x²);   Laplace: ∂²u∂x² + ∂²u∂y² = 0

Drei grundlegende lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung für Physik und Technik

c: Wellenausbreitungsgeschwindigkeit α: Konstante der thermischen Diffusivität

🎲

Kapitel 10: Wahrscheinlichkeit und statistische Verteilungen

5 Formeln

Satz von Bayes, Erwartungswert, Varianz, Binomial-, Poisson- und Gaußsche Normalverteilungen

1

Satz von Bayes und Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit

P(A | B) = P(B | A)·P(A)P(B) = P(B | A)·P(A)∑ P(B | A_i)·P(A_i)

Berechnet die A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A|B) bei gegebener Prior-Wahrscheinlichkeit P(A) und bedingter Wahrscheinlichkeit P(B|A)

P(A | B): A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A bei gegebenem Ereignis B eingetreten ist P(A): Prior-Wahrscheinlichkeit von A P(B | A): Wahrscheinlichkeit von B bei A

2

Erwartungswert- und Varianzbeziehungen

E[X] = ∑ x_i·P(x_i), Var(X) = E[X²] - (E[X])² = σ², SD(X) = σ = √Var(X)

Erstes und zweites zentrales Moment, das den Mittelwert und die Streuung um den Mittelwert misst

E[X]: Mathematische Erwartung / Bevölkerungsmittelwert (μ) Var(X): Populationsvarianz (σ²) σ: Standardabweichung

3

Binomiale Wahrscheinlichkeitsverteilung

P(X = k) = (n!k!(n - k)!)·pᵏ·(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, μ = n·p, σ² = n·p·(1 - p)

Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p

n: Komplett unabhängige Studien k: Anzahl der Erfolge p: Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch

4

Poisson-Wahrscheinlichkeitsverteilung

P(X = k) = λᵏ·e^(-λ)k!, μ = λ, σ² = λ

Modelliert seltene diskrete Ereignisse in einem festen Zeit-/Raumintervall mit konstanter Durchschnittsrate λ

λ: Durchschnittlicher Vorkommensratenparameter (λ > 0) k: Ereignisanzahl (0, 1, 2...)

5

Gaußsche Normalverteilung und Z-Score

f(x) = (1σ·√2π)·e^(-(x - μ)²2σ²), Z = X - μσ

Kontinuierliche symmetrische glockenförmige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die den zentralen Grenzwertsatz bestimmt

μ: Verteilungsmittelzentrum σ: Standardabweichungs-Spread-Parameter Z: Standardisierter Z-Score (dimensionsloser Abstand vom Mittelwert in Einheiten von σ)

⚛️

Vollständige Physik-Sammlung

Kinematik, Newtonsche Gesetze, Rotationsdynamik, Gravitation, Thermodynamik, Maxwell-Gleichungen, Optik und Quantenphysik.

158+ Gleichungen

🏃

Kapitel 1: Kinematik und 1D/2D-Bewegung

13 Formeln

Gleichungen für Bewegung, Verschiebung, durchschnittliche und momentane Geschwindigkeit, Beschleunigung und Projektilflugbahn

1

Durchschnittliche Geschwindigkeit

v_avg = ΔxΔt = x_f - x_it_f - t_i

Verhältnis der Gesamtverschiebung zum gesamten Zeitintervall

v_avg: Durchschnittsgeschwindigkeit Δx: Verschiebung Δt: Zeit verstrichen

2

Momentane Geschwindigkeit

v = dxdt = lim[Δt→0] (ΔxΔt)

Erste zeitliche Ableitung des Ortskoordinatenvektors nach der Zeit

v: Momentane Geschwindigkeit x(t): Positionsfunktion der Zeit

3

Momentane Beschleunigung

a = dvdt = d²xdt² = v·(dvdx)

Geschwindigkeitsänderungsrate in Bezug auf Zeit oder Position

a: Beschleunigung v: Geschwindigkeit

4

SUVAT 1. Bewegungsgleichung (Geschwindigkeit-Zeit)

v = u + a·t

Setzt die Endgeschwindigkeit zur Anfangsgeschwindigkeit bei gleichmäßiger Beschleunigung a in Beziehung

v: Endgeschwindigkeit u: Anfangsgeschwindigkeit a: Konstante Beschleunigung t: Zeit verstrichen

5

SUVAT 2. Bewegungsgleichung (Weg-Zeit)

s = u·t + ½·a·t²

Berechnet die gesamte lineare Verschiebung bei konstanter Beschleunigung

s: Verschiebung u: Anfangsgeschwindigkeit a: Konstante Beschleunigung t: Zeit verstrichen

6

SUVAT 3. Bewegungsgleichung (Geschwindigkeit-Weg)

v² = u² + 2·a·s

Zeitunabhängige kinematische Beziehung für konstante Beschleunigung

v: Endgeschwindigkeit u: Anfangsgeschwindigkeit a: Konstante Beschleunigung s: Verschiebung

7

Verschiebung in der n-ten Sekunde

s_n = u + (a2)·(2n - 1)

Berechnet die Verschiebung insbesondere während der n-ten Sekunde der Bewegung

s_n: Verschiebung in der n-ten Sekunde n: Zweite Zahl (n = 1, 2, 3...)

8

Verschiebung unter Verwendung der Durchschnittsgeschwindigkeit

s = ½·(u + v)·t

Gültig für Bewegung unter gleichmäßiger konstanter linearer Beschleunigung

s: Verschiebung u, v: Anfangs- und Endgeschwindigkeiten

9

Maximale Projektilhöhe

H_max = u²·sin²θ2g

Maximale vertikale Höhe, die ein im Winkel θ abgefeuertes Projektil erreicht

u: Startgeschwindigkeit θ: Startwinkel mit Horizontal g: Erdbeschleunigung (9,81 m/s²)

10

Gesamtflugzeit des Projektils

T = 2u·sinθg

Gesamtflugzeit vom Start bis zur Landung auf ebenem Boden

T: Gesamtflugzeit u: Anfängliche Startgeschwindigkeit

11

Horizontale Reichweite des Projektils

R = u²·sin(2θ)g

Maximal zurückgelegte horizontale Distanz (maximal bei Startwinkel θ = 45°)

R: Horizontaler Bereich u: Startgeschwindigkeit θ: Projektionswinkel

12

Gleichung für die parabolische Flugbahn des Projektils

y = x·tanθ -g·x²2u²·cos²θ = x·tanθ·(1 -xR)

Kartesische Pfadkoordinaten (x, y), die eine reine parabolische Bewegung demonstrieren

(x, y): Momentane Positionskoordinaten R: Horizontaler Bereich

13

Relativer Geschwindigkeitsvektor

v_(AB) = v_A - v_B, v_(AB) = √v_A² + v_B² - 2v_A·v_B·cosθ

Geschwindigkeit von Körper A, beobachtet vom Bezugssystem des sich bewegenden Körpers B

v_(AB): Relative Geschwindigkeit von A bzgl. B θ: Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektoren

⚖️

Kapitel 2: Bewegungsgesetze, Reibung und Kreisdynamik

12 Formeln

Die drei Newtonschen Gesetze: linearer Impuls, Impuls, statische/kinetische Reibung, Zentripetalkraft und Neigungswinkel

1

Linearer Impuls

p = m·v

Produkt aus Masse und Geschwindigkeit; in isolierten Systemen ohne äußere Kraft erhalten bleibt

p: Linearer Impuls m: Masse v: Geschwindigkeit

2

Newtons zweites Bewegungsgesetz

F_net = dpdt = m·a (for constant mass)

Die äußere Nettokraft entspricht der momentanen Änderungsrate des linearen Impulses

F_net: Nettoresultierende Kraft m: Trägheitsmasse a: Beschleunigung

3

Impuls-Impuls-Theorem

J = ∫ F dt = F_avg·Δt = Δp = m·v_f - m·v_i

Der Impuls einer Kraft über die Dauer Δt entspricht der gesamten erzeugten Impulsänderung

J: Impuls F_avg: Durchschnittliche Aufprallkraft Δp: Änderung des linearen Impulses

4

Maximale statische Grenzreibung

f_s(max) = μ_s·N

Selbstregulierende Widerstandskraft, die der Tendenz der Relativbewegung bis zum Schwellenwert entgegenwirkt

f_s: Statische Reibungskraft μ_s: Haftreibungskoeffizient (dimensionslos) N: Normale Reaktionskontaktkraft

5

Kinetische / Gleitreibung

f_k = μ_k·N

Konstante Widerstandskraft, die der aktiven relativen Gleitbewegung entgegenwirkt (typischerweise μ_k < μ_s)

f_k: Kinetische Reibungskraft μ_k: Koeffizient der kinetischen Reibung N: Normalkraft

6

Reibungswinkel und Ruhewinkel

tan(θ_repose) = μ_s, tan(λ) = f_s(max)N = μ_s

Minimaler Neigungswinkel, bei dem ein Körper unter der Schwerkraft nach unten zu rutschen beginnt

θ_repose: Ruhewinkel μ_s: Haftreibungskoeffizient

7

Zentripetale Beschleunigung

a_c = v²r = ω²·r = v·ω = 4π²·rT²

Nach innen gerichtete radiale Beschleunigung für eine kreisförmige Flugbahn mit dem Radius r

a_c: Zentripetalbeschleunigung v: Tangentiale lineare Geschwindigkeit ω: Winkelgeschwindigkeit r: Krümmungsradius

8

Zentripetalkraft

F_c = m·v²r = m·ω²·r

Netto nach innen gerichtete Kraft, die erforderlich ist, um eine kreisförmige Flugbahnbewegung aufrechtzuerhalten

F_c: Zentripetalkraft m: Objektmasse r: Umlaufradius / Drehung

9

Optimale sichere Geschwindigkeit auf überhöhten, kurvigen Straßen

v_opt = √r·g·tanθ

Geschwindigkeit, mit der ein Fahrzeug eine Kurve ohne seitlichen Reibungsverschleiß bewältigt

v_opt: Ideale Bankgeschwindigkeit θ: Bankhöhenwinkel r: Radius der Kreiskurve

10

Maximale sichere Geschwindigkeit auf überhöhten Straßen mit Reibung

v_max = √[r·g·(μ_s + tanθ)1 - μ_s·tanθ ]

Obere Geschwindigkeitsgrenze, bevor es auf einer geneigten Oberfläche mit Reibung zum Ausrutschen kommt

v_max: Maximale Drehgeschwindigkeit μ_s: Statischer Reibungskoeffizient der Straße

11

Zeitperiode des konischen Pendels

T = 2π·√L·cosθg, Tension: T_string = m·gcosθ

Periode des Bob, der den horizontalen Kreis mit dem Kegelwinkel θ und der Saitenlänge L beschreibt

T: Zeit der Revolution L: Saitenlänge θ: Halbvertikaler Winkel mit der Vertikalen

12

Kritische Geschwindigkeiten für vertikale Kreisbewegungen

v_bottom ≥ √5gr, v_top ≥ √gr, T_bottom - T_top = 6mg

Minimale Schwellengeschwindigkeiten, um eine vertikale Schleife zu absolvieren, ohne dass die Saite nachlässt

r: Radius der vertikalen Schleife T_bottom, T_top: Saitenspannungen am niedrigsten und höchsten Punkt

⚡

Kapitel 3: Arbeit, Energie, Kraft und Kollisionen

11 Formeln

Arbeitsenergiesatz, kinetische/potenzielle Energie, Federelastizität, konservative Kräfte, Leistung und elastische/inelastische Kollisionen

1

Mit konstanter Kraft geleistete Arbeit

W = F·d·cosθ = F·d

Skalares Punktprodukt aus Kraftvektor und Verschiebungsvektor

W: Mechanische Arbeiten erledigt F: Größe der ausgeübten Kraft d: Verschiebung θ: Winkel zwischen Kraft und Weg

2

Durch variable Kraft geleistete Arbeit (Integral)

W = ∫x_fx_i F(x) dx

Fläche unter dem Kraft-Weg-Diagramm zwischen Anfangs- und Endposition

F(x): Positionsabhängige Kraftfunktion dx: Infinitesimales Verschiebungselement

3

Arbeits-Energie-Theorem

W_net = ΔK = K_f - K_i = ½m·v_f² - ½m·v_i²

Die von allen Kräften (konservativ, nichtkonservativ, extern) geleistete Netzwerkarbeit entspricht einer Änderung der kinetischen Energie

W_net: Netzwerkarbeit erledigt ΔK: Änderung der kinetischen Energie

4

Kinetische Energie (Beziehung zum Impuls)

K = ½·m·v² = p²2m, p = √2m·K

Energie, die ein Körper aufgrund seines Bewegungszustandes besitzt

K: Kinetische Energie p: Linearer Impuls m: Masse

5

Potenzielle Gravitationsenergie (in Erdnähe)

U_g = m·g·h

Potenzielle Energie, die in einer Masse m gespeichert ist, die in einem gleichmäßigen Feld g auf die vertikale Höhe h angehoben wird

U_g: Gravitationspotentialenergie m: Masse h: Höhe über dem Bezugspunkt

6

Elastische potentielle Energie der Feder (Hookes Gesetz)

U_s = ½·k·x², F_spring = -k·x

Energie, die gespeichert wird, wenn eine Feder mit der Steifigkeitskonstanten k um x gedehnt/komprimiert wird

U_s: Potenzielle Frühlingsenergie k: Federsteifigkeit konstant x: Verschiebung aus der Gleichgewichtsdehnung

7

Konservative Kraft als negativer Potentialgradient

F = -dUdx, F_vec = -∇U = -(∂U∂x i + ∂U∂y j + ∂U∂z k)

Konservative Kräfte zeigen immer in die Richtung des steilsten Abfalls der potentiellen Energie

U: Skalares Feld der potentiellen Energie ∇U: Gradient der potentiellen Energie

8

Mechanische Leistung (Durchschnitt und Momentan)

P = dWdt = F·v·cosθ = F·v

Zeitrate, mit der mechanische Arbeit verrichtet oder Energie übertragen wird

P: Leistung F: Gewalt v: Geschwindigkeit

9

Restitutionskoeffizient (Kollisionen)

e = v₂ - v₁u₁ - u₂ = Relative velocity of separationRelative velocity of approach

Misst die Elastizität: e=1 (erhaltene kinetische Energie), e=0 (Objekte kleben zusammen)

u₁, u₂: Geschwindigkeiten vor der Kollision v₁, v₂: Geschwindigkeiten nach Kollision e: Restitutionskoeffizient (0 ≤ e ≤ 1)

10

Endgeschwindigkeiten bei 1D-elastischer Kollision

v₁ = [m₁ - m₂m₁ + m₂]·u₁ + [2m₂m₁ + m₂]·u₂,  v₂ = [2m₁m₁ + m₂]·u₁ + [m₂ - m₁m₁ + m₂]·u₂

Exakte Nachkollisionsgeschwindigkeiten für zwei elastisch in einer Dimension kollidierende Massen

m₁, m₂: Massen kollidierender Körper u₁, u₂: Anfangsgeschwindigkeiten v₁, v₂: Endgültige Geschwindigkeiten nach der Kollision

11

Verlust kinetischer Energie bei inelastischem Stoß

ΔK_loss = ½·[m₁·m₂m₁ + m₂ ]·(u₁ - u₂)²·(1 - e²)

Kinetische Energie wird in interne thermische Verformung und akustische Energie umgewandelt

ΔK_loss: Verlorene kinetische Energie e: Rückerstattungskoeffizient

🔄

Kapitel 4: Rotationsbewegung und Trägheitsmoment

11 Formeln

Drehmoment, Drehimpuls, Rotationskinematik, Sätze paralleler/senkrechter Achsen und Rolldynamik

1

Schwerpunktkoordinaten

r_cm = ∑ m_i·r_i∑ m_i = (1M) ∫ r dm

Mittlere Lage der Massenverteilung für diskrete oder kontinuierliche Festkörper

r_cm: Schwerpunktpositionsvektor M: Gesamtsystemmasse (∑ m_i)

2

Rotationskinematische Gleichungen

ω = ω₀ + α·t, θ = ω₀·t + ½α·t², ω² = ω₀² + 2α·θ

Rotationsäquivalente von SUVAT für konstante Winkelbeschleunigung α

θ: Winkelverschiebung ω₀, ω: Anfangs- und Endwinkelgeschwindigkeit α: Winkelbeschleunigung t: Zeit

3

Drehmoment (Kraftmoment)

τ = r × F = r·F·sinθ = I·α = dLdt

Rotationsäquivalent der linearen Kraft, die die Winkelbeschleunigung α verursacht

τ: Drehmoment r: Hebelabstand des Momentenarms I: Trägheitsmoment α: Winkelbeschleunigung

4

Drehimpuls und Erhaltung

L = r × p = I·ω, τ_net = 0 ⟹ L = const

Bleibt erhalten, wenn das auf das System wirkende Netto-Außendrehmoment Null ist (z. B. Eiskunstläufer)

L: Drehimpuls I: Trägheitsmoment ω: Winkelgeschwindigkeit

5

Parallelachsensatz (Steiner)

I = I_cm + M·d²

Trägheitsmoment um jede Achse parallel zur Schwerpunktachse, getrennt durch den Abstand d

I: Trägheitsmoment um die Parallelachse des Ziels I_cm: Trägheitsmoment durch den Massenschwerpunkt M: Gesamtmasse des Körpers d: Senkrechter Abstand zwischen den Achsen

6

Satz der senkrechten Achse (planare Schichten)

I_z = I_x + I_y

Gilt ausschließlich für 2D-Planarkörper, die in der xy-Ebene liegen

I_z: Trägheitsmoment um die normale Z-Achse I_x, I_y: Trägheitsmomente um die in der Ebene liegenden x- und y-Achsen

7

Gyrationsradius

k = √IM, I = M·k²

Effektiver radialer Abstand, bei dem die gesamte Masse konzentriert werden könnte, ohne I zu verändern

k: Gyrationsradius I: Trägheitsmoment M: Masse

8

Rotationskinetische Energie

K_rot = ½·I·ω²

Kinetische Energie, die ausschließlich mit dem Rotationsspin um eine feste oder bewegliche Achse verbunden ist

K_rot: Rotationskinetische Energie I: Trägheitsmoment ω: Winkelgeschwindigkeit

9

Gesamte kinetische Energie in reiner Rollbewegung

K_total = K_trans + K_rot = ½M·v_cm² + ½I_cm·ω² = ½M·v_cm²·(1 +k²R²)

Kombinierte translatorische und rotatorische kinetische Energie für reines Rollen ohne Schlupf (v_cm = ωR)

K_total: Gesamte Rollenergie v_cm: Schwerpunktgeschwindigkeit k: Gyrationsradius R: Außenradius

10

Beschleunigung des Körpers, der die Steigung hinunterrollt

a = g·sinθ1 + I_cmM·R² = g·sinθ1 +k²R²

Lineare Beschleunigung entlang einer schiefen Ebene mit der Neigung θ (feste Kugel > Scheibe > Ring)

a: Lineare Rollbeschleunigung θ: Neigungswinkel

11

Standardreferenz für Trägheitsmomente

Thin Rod: 112 ML², Ring: MR², Solid Disc: ½MR²,Solid Sphere: 25 MR²,Hollow Sphere: 23 MR²

Schwerpunktträgheitsmomente für einheitliche geometrische Standardkörper

M: Masse R, L: Radius / Länge

🪐

Kapitel 5: Universelle Gravitation und Orbitalmechanik

10 Formeln

Newtons universelles Gravitationsgesetz, Gravitationspotential, Fluchtgeschwindigkeit, Umlaufgeschwindigkeit, Keplersche Gesetze und Satellitenbahnen

1

Newtons Gesetz der universellen Gravitation

F = G·(M·m)r²

Inverse quadratische Anziehung zwischen zwei beliebigen Punktmassen, die durch den Abstand r voneinander getrennt sind

G: Universelle Gravitationskonstante (6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²) M, m: Wechselwirkende Punktmassen r: Trennung zwischen Zentren

2

Oberflächengravitationsbeschleunigung

g = G·MR² = (43)·π·G·ρ·R

Freie Fallbeschleunigung an der Oberfläche einer Planetenkugel mit der Masse M und dem Radius R

g: Oberflächengravitation (Erde ~9,81 m/s²) M: Planetenmasse R: Planetenradius ρ: Mittlere Dichte

3

Variation der Schwerkraft mit der Höhe h

g_h = g·(RR + h)² ≈ g·(1 -2hR) [for h ≪ R]

Abnahme der Erdbeschleunigung mit der Höhe h über der Planetenoberfläche

g_h: Schwerkraft in der Höhe h h: Höhe über dem Boden R: Erdradius (~6.371 km)

4

Variation der Schwerkraft mit der Tiefe d

g_d = g·(1 -dR)

Lineare Abnahme der Erdbeschleunigung (wird im Zentrum d = R zu Null)

g_d: Schwerkraft in der Tiefe d d: Tiefe unter der Erde

5

Gravitationspotentialenergie (universell)

U(r) = -G·M·mr

Negative gebundene Zustandsenergie mit Referenznullpunkt bei unendlichem Abstand r → ∞

U(r): Gravitationspotentialenergie r: Abstand vom Zentrum

6

Gravitationspotential V(r)

V(r) = -G·Mr, E_g = -dVdr

Arbeit, die geleistet wurde, um die Einheitstestmasse von unendlich auf den Abstand r zu bringen

V(r): Gravitationspotential

7

Fluchtgeschwindigkeit

v_esc = √2G·MR = √2g·R

Mindestanfangsgeschwindigkeit, die ein antriebsloses Projektil benötigt, um der Schwerkraft des Planeten zu entkommen (~11,2 km/s für die Erde)

v_esc: Fluchtgeschwindigkeit M: Planetenmasse R: Planetenradius

8

Umlaufgeschwindigkeit des Satelliten

v_orb = √G·MR + h = v_esc√2 (near surface)

Für eine stabile Umlaufbahn um den Planeten erforderliche Kreisgeschwindigkeit (~7,92 km/s nahe der Erdoberfläche)

v_orb: Umlaufgeschwindigkeit h: Orbitalhöhe über der Oberfläche

9

Zeitraum der Satellitenumlaufbahn

T = 2π·(R + h)^(32)√GM = 2π·√r³GM

Zeit, die ein Satellit für eine vollständige Umdrehung benötigt (24 Stunden für eine geostationäre Umlaufbahn bei ca. 35.786 km).

T: Umlaufzeit r: Umlaufradius (R + h)

10

Keplers Drittes Gesetz (Harmonisches Gesetz)

T²a³ = 4π²G·M = const

Das Quadrat der Umlaufzeit ist streng proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse a

T: Umlaufzeit a: Halbgroße Orbitalachse

🧱

Kapitel 6: Mechanische Eigenschaften von Festkörpern und Elastizität

5 Formeln

Hookesches Gesetz, Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul, Volumenmodul, Schermodul, Poissonzahl und elastische Energiedichte

1

Hookesches Gesetz und Elastizitätsmodul

Stress = Y·Strain ⟹ FA = Y·(ΔLL)

Linearer Zusammenhang zwischen Zug-/Druckspannung und Längsdehnung innerhalb der Elastizitätsgrenze

Y: Elastizitätsmodul nach Young σ = FA: Stress ε = ΔLL: Längsdehnung (dimensionslos) ΔL: Dehnung/Kompression

2

Volumenmodul und Kompressibilität

B = - V·(ΔPΔV), K = 1B

Widerstand der Substanz gegen gleichmäßige volumetrische Kompression unter hydrostatischem Druck ΔP

B: Volumenmodul K: Kompressibilität ΔP: Angewandter hydrostatischer Druckanstieg ΔVV: Volumetrische Bruchdehnung

3

Schubmodul (Steifigkeitsmodul)

G = η = FAθ = F·LA·Δx

Widerstand gegen tangentiale Scherverzerrung θ ohne Volumenänderung

G or η: Schubmodul / Steifigkeit θ: Scherwinkelverzerrung Δx: Seitliche Spitzenverschiebung

4

Poissonzahl

ν = -Lateral StrainLongitudinal Strain = -ΔddΔLL

Verhältnis von Querkontraktion zu Längsausdehnung (theoretische Grenzen: -1 < ν < 0,5; praktisch: 0 bis 0,5)

ν: Poissonzahl (dimensionslos) d: Querdurchmesser/Dicke L: Länge

5

Energiedichte der elastischen Dehnung

u = ½·Stress·Strain = ½·Y·(Strain)² = (Stress)²2Y

Pro Volumeneinheit in einem verformten elastischen Material gespeicherte elastische potentielle Energie

u: Dehnungsenergiedichte U_total: Gesamtdehnungsenergie = u × Volumen

💧

Kapitel 7: Strömungsmechanik, Hydrostatik und Viskosität

10 Formeln

Hydrostatischer Druck, Auftrieb von Archimedes, Kontinuitätsgleichung, Bernoulli-Theorem, Torricelli-Ausfluss, Stokes-Gesetz, Endgeschwindigkeit und Oberflächenspannung

1

Hydrostatischer Druck mit Tiefe

P = P₀ + ρ·g·h

Gesamtabsolutdruck in der Tiefe h in einer statischen Flüssigkeit der Dichte ρ

P: Absoluter Druck in der Tiefe P₀: Atmosphärendruck (101.325 Pa) ρ: Flüssigkeitsdichte h: Tiefensäule unter der Flüssigkeitsoberfläche

2

Pascal-Prinzip (hydraulischer Aufzug)

P₁ = P₂ ⟹ F₁A₁ = F₂A₂

Der auf die eingeschlossene inkompressible Flüssigkeit ausgeübte Druck wird unvermindert gleichmäßig übertragen

F₁, F₂: Kräfte auf Eingangs- und Ausgangskolben A₁, A₂: Querschnittsflächen der Kolbenoberfläche

3

Das Auftriebsprinzip von Archimedes

F_B = ρ_fluid·V_submerged·g = Weight of displaced fluid

Auftriebskraft, die dem Gewicht der Flüssigkeit entspricht, die von einem untergetauchten Objekt verdrängt wird

F_B: Auftriebskraft ρ_fluid: Dichte des flüssigen Mediums V_sub: Untergetauchtes Objektvolumen

4

Kontinuitätsgleichung (Erhaltung der Masse)

A₁·v₁ = A₂·v₂ = dVdt = Q (Flow Rate)

Bei einem stetigen inkompressiblen Flüssigkeitsfluss bleibt die volumetrische Entladungsrate Q konstant

A₁, A₂: Querschnittsrohrbereiche v₁, v₂: Strömungsgeschwindigkeiten von Flüssigkeiten Q: Volumenstromaustrag

5

Satz von Bernoulli (Energieerhaltung)

P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = constant

Die Summe aus statischem Druck, dynamischem kinetischem Druck und hydrostatischem Potenzial ist entlang einer Stromlinie konstant

P: Statischer Flüssigkeitsdruck ½ρv²: Dynamischer Druckkopf ρgh: Gravitationspotentialdruck

6

Torricellis Gesetz der Effluxgeschwindigkeit

v_efflux = √2·g·h

Geschwindigkeit der Flüssigkeit, die aus einer Tanköffnung mit kleiner Öffnung in der Tiefe h unter der offenen Oberfläche austritt

v_efflux: Ausflussgeschwindigkeit h: Tiefe der Öffnung unterhalb der Flüssigkeitsoberfläche

7

Stokessches Gesetz des viskosen Widerstands

F_v = 6π·η·r·v

Verzögernde viskose Widerstandskraft, die eine kleine Kugel erfährt, die sich durch eine laminare Flüssigkeit bewegt

F_v: Viskose Widerstandskraft η: Dynamischer Viskositätskoeffizient r: Kugelradius v: Geschwindigkeit durch Flüssigkeit

8

Endgeschwindigkeit der fallenden Kugel

v_t = 2·r²·(ρ - σ)·g9η

Eine stetige konstante Geschwindigkeit wird erreicht, wenn die Schwerkraft gleich der Auftriebskraft + dem viskosen Widerstand ist

v_t: Endgeschwindigkeit ρ: Kugeldichte σ: Dichte der umgebenden Flüssigkeit η: Dynamische Flüssigkeitsviskosität

9

Überdruck in Tröpfchen und Blasen

ΔP_drop = 2TR, ΔP_bubble = 4TR

Young-Laplace-Überdruck im Inneren: Seifenblase hat 2 freie Flüssigkeits-Luft-Grenzflächen

T: Oberflächenspannungskoeffizient R: Radius der Tropfen-/Blasenkrümmung ΔP: Innendruck über Umgebungsdruck

10

Kapillarer Aufstieg / Depression (Jurins Gesetz)

h = 2T·cosθρ·g·r

Höhe Flüssigkeit steigt in einem schmalen Kapillarrohr mit Radius r und Kontaktwinkel θ auf

h: Höhe der Kapillarsäule θ: Kontaktwinkel des Flüssigkeits-Fest-Meniskus r: Interner Kapillarrohrradius

🌡️

Kapitel 8: Thermophysik und kinetische Theorie von Gasen

7 Formeln

Wärmeausdehnung, Kalorimetrie, ideales Gasgesetz, kinetische Drucktheorie, molekulare Geschwindigkeiten (RMS/avg/mp) und molare Wärmekapazitäten

1

Wärmeausdehnung (linear, oberflächlich, volumetrisch)

ΔL = α·L₀·ΔT, ΔA = 2α·A₀·ΔT, ΔV = 3α·V₀·ΔT = γ·V₀·ΔT

Bruchteil der Dimensionsausdehnung proportional zum Temperaturanstieg ΔT (β = 2α, γ = 3α)

α: Linearer Wärmeausdehnungskoeffizient ΔT: Temperaturänderung (T_f - T_i)

2

Spürbare Wärme und latente Wärme des Phasenwechsels

Q = m·c·ΔT, Q_phase = m·L

Wärme, die erforderlich ist, um die Temperatur zu erhöhen oder einen isothermen Phasenübergang fest/flüssig/gas zu bewirken

Q: Wärmeenergie aufgenommen oder abgegeben c: Spezifische Wärmekapazität (Wasser: 4186 J/kg·K) L: Spezifische latente Wärme (Fusion / Verdampfung)

3

Ideale Gaszustandsgleichung

P·V = n·R·T = N·k_B·T

Stoffgleichung, die Druck, Volumen, Temperatur und Menge eines idealen Gases in Beziehung setzt

P: Absoluter Druck V: Volumen n: Anzahl der Maulwürfe R: Universelle Gaskonstante (8,31446 J/(mol·K)) k_B: Boltzmann-Konstante (1,38065 × 10⁻²³ J/K) T: Absolute Temperatur

4

Kinetische Theorie des Gasdrucks

P = ⅓·ρ·v_rms² = ⅓·(N·mV)·v_rms²

Mikroskopische statistische Ableitung des makroskopischen Gasdrucks aus molekularen Impulskollisionen

ρ: Gasdichte (M_total / V) v_rms: Effektivwert der molekularen Geschwindigkeit

5

RMS, durchschnittliche und wahrscheinlichste Gasgeschwindigkeiten

v_rms = √3RTM, v_avg = √8RTπM, v_mp = √2RTM

Charakteristische Maxwell-Boltzmann-Molekülgeschwindigkeitsverteilungsgeschwindigkeiten (v_rms > v_avg > v_mp)

M: Molmasse von Gas T: Absolute Temperatur

6

Innere Energie und Freiheitsgrade

U = (f2)·n·R·T, E_k(per molecule) = (f2)·k_B·T

Äquipartitionssatz: Jeder quadratische Freiheitsgrad f trägt ½ k_B T pro Molekül bei

f: Freiheitsgrade (mono=3, dia=5, poly=6) U: Gesamte innere Wärmeenergie

7

Mayer-Relation und Wärmekapazitätsverhältnis γ

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v = 1 + (2f)

Beziehung zwischen molaren Wärmekapazitäten bei konstantem Druck (C_p) und konstantem Volumen (C_v)

C_p, C_v: Molare Wärmekapazitäten γ: Adiabatischer Index / Poisson-Verhältnis (mono=1,67, dia=1,40)

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Kapitel 9: Thermodynamik und Wärmeübertragung

10 Formeln

Erster Hauptsatz der Thermodynamik, thermodynamische Arbeitsprozesse (isotherm, adiabatisch, isobar, isochor), Wirkungsgrad des Carnot-Motors, Stefan-Boltzmann-Gesetz und Wiener Verschiebung

1

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

ΔU = Q - W ⟹ Q = ΔU + W, W = ∫ P dV

Energieerhaltung für thermodynamische Systeme (Q in das System, W vom System geleistete Arbeit)

ΔU: Änderung der inneren Energie (n C_v ΔT) Q: Dem System wird Wärme zugeführt W: Vom Erweiterungssystem ausgeführte Arbeit

2

Im isothermen Prozess geleistete Arbeit (T = const, ΔU = 0)

W_iso = n·R·T·ln(V_fV_i) = n·R·T·ln(P_iP_f)

Quasistatische reversible Expansion/Kompression bei streng konstanter Temperatur

W_iso: Isotherme Arbeit erledigt V_i, V_f: Anfangs- und Endbände

3

Adiabatischer Prozess und geleistete Arbeit (Q = 0, PV^γ = const)

P·V^γ = const, W_adi = P_i·V_i - P_f·V_fγ - 1 = n·R·(T_i - T_f)γ - 1

Reversibler Prozess ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung (T V^(γ-1) = const)

W_adi: Adiabatische Arbeit γ: Wärmekapazitätsverhältnis (C_p / C_v)

4

Isobare (P = const) und isochore (V = const) Arbeit

W_isobaric = P·ΔV = n·R·ΔT, W_isochoric = 0 (since dV = 0)

Unter konstantem Druck beträgt die Arbeit die rechteckige Fläche PΔV; Bei konstantem Volumen wird keine Arbeit verrichtet

P: Ständiger Druck ΔV: Lautstärkeänderung

5

Carnot-Wärmekraftmaschine mit maximaler Effizienz

η = W_outQ_in = 1 - (Q_CQ_H) = 1 - (T_CT_H)

Theoretische obere thermodynamische Grenze des Wirkungsgrades zwischen den Temperaturen T_H und T_C

η: Thermischer Wirkungsgrad (0 ≤ η < 1) T_H: Temperatur des heißen Reservoirs T_C: Temperatur des Kaltwasserreservoirs

6

Leistungszahl (Kühlschrank / Wärmepumpe)

COP_ref = Q_CW = T_CT_H - T_C, COP_hp = Q_HW = T_HT_H - T_C

Kühl- oder Heizausgangsenergie, die pro Einheit der mechanischen Kompressorarbeitsaufnahme geliefert wird

COP: Leistungskoeffizient W: Arbeitsaufwand erforderlich

7

Wärmeleitung (Fourier-Gesetz)

dQdt = k·A·(T_H - T_C)L

Rate der stationären Wärmeleitung über eine Platte mit der Wärmeleitfähigkeit k und der Dicke L

dQdt: Wärmeübertragungsrate k: Wärmeleitfähigkeit A: Querschnittsleitungsbereich L: Plattendicke

8

Stefan-Boltzmann-Gesetz der Wärmestrahlung

P = e·σ·A·(T⁴ - T₀⁴)

Nettostrahlungsleistung, die von einem grauen Körper mit dem Emissionsgrad e bei T₀ in die Umgebung abgestrahlt wird

P: Ausgestrahlte Strahlungsleistung σ: Stefan-Boltzmann-Konstante (5,67037 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)) e: Emissionsgrad der Oberfläche (0 < e ≤ 1, schwarzer Körper = 1) T: Absolute Oberflächentemperatur

9

Wiensches Verschiebungsgesetz (Spitzenwellenlänge)

λ_max·T = b = 2.89777 × 10⁻³ m·K

Die Spitzenemissionswellenlänge des Schwarzkörperspektrums ist umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur

λ_max: Wellenlänge der maximalen spektralen Strahldichte T: Absolute Temperatur b: Wiensche Verschiebungskonstante

10

Newtons Gesetz der Abkühlung

dTdt = -k·(T - T_env) ⟹ T(t) = T_env + (T₀ - T_env)·e^(-kt)

Der Wärmeverlust durch Konvektion/Strahlung ist proportional zur Übertemperatur gegenüber der Umgebungstemperatur

T(t): Temperatur zum Zeitpunkt t T_env: Umgebungstemperatur k: Abkühlrate konstant

⏳

Kapitel 10: Einfache harmonische Bewegung und Schwingungen

8 Formeln

Kinematik von SHM, einfaches Pendel, Feder-Masse-Systeme, Serien-/Parallelfedern, physikalisches Pendel, Gesamtenergie und gedämpfte Schwingungen

1

Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung in SHM

x = A·sin(ωt + φ), v = dxdt = ω·√A² - x², a = d²xdt² = -ω²·x

Grundlegende Kinematik des linearen SHM mit definierender Wiederherstellungsbedingung a ∝ -x

A: Amplitude ω = 2πf: Winkelfrequenz φ: Epochenwinkel der Anfangsphase x: Momentane Verschiebung

2

Zeitspanne des einfachen Pendels (kleine Winkel)

T = 2π·√Lg, f = (12π)·√gL

Periode des Pendels der Länge L im gleichmäßigen Gravitationsfeld g (unabhängig von der Pendelmasse m)

T: Zeitspanne der Schwingung L: Effektive Länge des Pendels g: Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft

3

Zeitspanne des Feder-Masse-Oszillators

T = 2π·√mk, ω = √km

Schwingungsdauer der Blockmasse m auf einer horizontalen oder vertikalen reibungsfreien Feder der Steifigkeit k

T: Schwingungsperiode m: Schwingende Masse k: Federkonstante

4

Federkombinationen (seriell und parallel)

1k_series = 1k₁+1k₂, k_parallel = k₁ + k₂

Äquivalente Federsteifigkeit für mehrere in Reihe oder parallel gekoppelte Federn

k_s, k_p: Äquivalente Federkonstanten

5

Physikalische (zusammengesetzte) Pendelperiode

T = 2π·√Im·g·d = 2π·√k_g² + d²g·d

Schwingung eines beliebigen starren Körpers, der im Abstand d von seinem Massenschwerpunkt geschwenkt wird

I: Trägheitsmoment um die Drehachse der Aufhängung d: Abstand vom Drehpunkt der Aufhängung bis zum Massenschwerpunkt

6

Torsionspendelperiode

T = 2π·√Iκ, τ = -κ·θ

Rotationsschwingung einer von einem Draht getragenen Scheibe mit der Torsionssteifigkeitskonstanten κ

I: Trägheitsmoment um die Torsionsdrahtachse κ: Torsionsfederkonstante (Rückstellmoment pro Bogenmaß)

7

Gesamte mechanische Energie in SHM

E = K + U = ½m·v² + ½k·x² = ½k·A² = ½m·ω²·A²

Die gesamte mechanische Energie bleibt streng konstant und wechselt zwischen kinetischer und potentieller Form

E: Gesamte konstante mechanische Energie A: Schwingungsamplitude

8

Gedämpfter harmonischer Oszillator

x(t) = A₀·e^(-γt)·cos(ω't + φ), ω' = √ω₀² - γ², γ = b2m

Die Amplitude nimmt exponentiell mit dem Dämpfungsfaktor γ unter dem viskosen Widerstand F = -bv ab

b: Viskoser Dämpfungskoeffizient γ: Dämpfungskoeffizient (b / 2m) ω': Gedämpfte Kreisfrequenz

🔊

Kapitel 11: Wellenbewegung, Klang und Akustik

9 Formeln

Wellengleichung, Wellengeschwindigkeit auf Saiten, Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten/Gasen, Dezibel-Intensitätsskala, stehende Wellen in Rohren/Saiten, Schwebungen und Doppler-Effekt

1

Harmonische Wanderwellengleichung

y(x, t) = A·sin(k·x ∓ ω·t + φ), k = 2πλ, ω = 2π·f

Quer- oder Längsverschiebung des Mediums an der Koordinate x und zum Zeitpunkt t (- für +x-Richtung)

y(x,t): Wellenverschiebung A: Wellenamplitude k: Winkelwellenzahl λ: Wellenlänge f: Frequenz

2

Wellengeschwindigkeitsverhältnis

v = f·λ = ωk = λT

Grundlegende Geschwindigkeitsbeziehung zwischen räumlicher Wellenlänge und zeitlicher Frequenz

v: Wellenausbreitungsgeschwindigkeit f: Frequenz λ: Wellenlänge

3

Geschwindigkeit der Querwelle auf gedehnter Saite

v = √T_tensionμ, μ = mL (Linear mass density)

Ausbreitungsgeschwindigkeit auf einer gespannten Saite, bestimmt durch die Spannung T und die Masse pro Längeneinheit μ

v: Transversalwellengeschwindigkeit T_tension: Mechanische Spannung der Saite μ: Lineare Massendichte

4

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas (Laplace-Formel)

v_sound = √γ·Pρ = √γ·R·TM

Adiabatische Schallwellengeschwindigkeit in Gas bei der Temperatur T (~343 m/s in Luft bei 20 °C)

v_sound: Akustische Schallgeschwindigkeit γ: Adiabatischer Index (1,40 für zweiatomige Luft) M: Molmasse des Gases (0,029 kg/mol für Luft)

5

Schallintensitätspegel (Dezibel-Skala)

β = 10·log₁₀(II₀), I₀ = 10⁻¹² Wm²

Logarithmische Dezibelskala relativ zur menschlichen Hörschwelle I₀

β: Schallintensitätspegel I: Akustische Schallintensität I₀: Hörschwelle (10⁻¹² W/m²)

6

Stehende Wellen (feste Saite und offene Pfeife)

f_n = n·(v2L) = n·f₁ (n = 1, 2, 3, 4...)

Harmonische Frequenzen für eine an beiden Enden befestigte Saite oder eine an beiden Enden offene Orgelpfeife (alle Harmonischen vorhanden)

f_n: Frequenz der n-ten Harmonischen L: Länge der Schnur/des Rohrs n: Harmonische ganzzahlige Ordnung

7

Stehende Wellen in einem an einem Ende geschlossenen Rohr

f_n = (2n - 1)·(v4L) (n = 1, 2, 3... ⟹ 1f₁, 3f₁, 5f₁...)

Resonanzfrequenzen in einem an einem Ende geschlossenen Rohr (unterstützt nur ungerade Harmonische: 1., 3., 5. ...)

f_n: Resonante akustische Frequenz L: Rohrlänge

8

Schlagfrequenz

f_beat = |f₁ - f₂|

Periodische konstruktive/destruktive Intensitätsmodulation, wenn sich zwei Wellen mit nahe beieinander liegenden Frequenzen überlagern

f_beat: Modulationsfrequenz schlagen f₁, f₂: Frequenzen zweier sich überlagernder Quellen

9

Doppler-Effekt für Schallwellen

f' = f·[v ± v_observerv ∓ v_source ]

Scheinbare Frequenzverschiebung aufgrund der relativen Bewegung von Beobachter (v_o) und Quelle (v_s) durch das Medium

f': Beobachtete scheinbare Häufigkeit f: Die wahre Sendefrequenz der Quelle v: Schallgeschwindigkeit im Medium v_o, v_s: Beobachter- und Quellgeschwindigkeiten (+ in Richtung, - weg)

⚡

Kapitel 12: Elektrostatik und Kapazität

11 Formeln

Coulombsches Gesetz, elektrisches Feld, elektrisches Potential, elektrischer Dipol, Gaußsches Gesetz, Kapazität, Reihen-/Parallelkondensatoren und Feldenergiedichte

1

Coulombsches Gesetz der elektrostatischen Kraft

F = (14πε₀)·(|q₁·q₂|r²) = k_e·(|q₁·q₂|r²)

Inverse quadratische elektrostatische Anziehung oder Abstoßung zwischen zwei stationären Punktladungen

k_e = 14πε₀: Coulomb-Konstante (~8,98755 × 10⁹ N·m²/C²) ε₀: Permittivität des freien Raums (8,85419 × 10⁻¹² C²/(N·m²)) q₁, q₂: Elektrische Ladungsgrößen r: Trennungsabstand

2

Elektrisches Feld der Punktladung

E = Fq₀ = (14πε₀)·(qr²)·r̂

Kraft, die pro Einheit positiver Testladung q₀ im elektrischen Feld auftritt

E: Elektrische Feldstärke q: Quellpunktgebühr

3

Elektrisches Potenzial und Beziehung zum Feld

V = (14πε₀)·(qr), E = -dVdr = -∇V

Arbeit, die geleistet wird, um die positive Testladung der Einheit ohne Beschleunigung von unendlich auf die Distanz r zu bringen

V: Elektrisches Potenzial E: Elektrisches Feld

4

Elektrostatische potentielle Energie des Ladungspaares

U = (14πε₀)·(q₁·q₂)r

In der Konfiguration zweier durch den Abstand r getrennter Ladungen gespeicherte Energie (positiv für gleich, negativ für ungleich)

U: Elektrostatische potentielle Energie

5

Elektrisches Dipolmoment, Drehmoment und potentielle Energie

p = q·2a, τ = p × E = p·E·sinθ, U = - p·E = - p·E·cosθ

Dipolvektor zeigt von negativer zu positiver Ladung; richtet sich nach dem externen Feld E

p: Elektrisches Dipolmoment τ: Drehmoment wiederherstellen U: Potenzielle Energie des Dipols

6

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

Φ_E = ∮ E·dA = Q_enclosedε₀

Der gesamte elektrische Fluss durch eine geschlossene Gaußsche Oberfläche entspricht der eingeschlossenen Ladung dividiert durch ε₀

Φ_E: Elektrischer Fluss Q_enclosed: Netto-Innenraumgebühr liegt bei

7

Elektrisches Feld der Linienladung und des unendlichen Blattes

E_line = λ2πε₀·r, E_sheet = σ2ε₀, E_cond = σε₀

Abgeleitet vom Gaußschen Gesetz für die gleichmäßige lineare Ladungsdichte λ und Oberflächenladungsdichte σ

λ: Lineare Ladungsdichte σ: Oberflächenladungsdichte

8

Kapazität des Parallelplattenkondensators

C = κ·ε₀·Ad

Kapazität proportional zur Plattenfläche A und Dielektrizitätskonstante κ; umgekehrt proportional zur Trennung d

C: Kapazität κ: Dielektrizitätskonstante des Mediums (Vakuum κ = 1) A: Plattenüberlappungsbereich d: Plattenabstand

9

Kondensatoren in Reihen- und Parallelkombinationen

1C_series = 1C₁+1C₂+ ..., C_parallel = C₁ + C₂ + ...

In Reihe: Ladung Q ist über alle Kondensatoren hinweg identisch; parallel: Spannung V ist identisch

C_s, C_p: Äquivalente Kapazität

10

Im Kondensator gespeicherte elektrostatische Energie

U = ½·C·V² = Q²2C = ½·Q·V

Im elektrischen Feld zwischen Kondensatorplatten gespeicherte Energie, die auf die Potenzialdifferenz V aufgeladen ist

U: Gespeicherte elektrostatische Energie Q: Gespeicherte Ladung (Q = C·V) V: Spannungspotentialdifferenz

11

Energiedichte des elektrischen Feldes

u_E = ½·ε₀·E²

Elektrostatische Energie, die pro Volumeneinheit des vom elektrischen Feld E eingenommenen Raums gespeichert wird

u_E: Energiedichte E: Größe des elektrischen Feldes

🔌

Kapitel 13: Aktuelle Strom- und Gleichstromkreise

9 Formeln

Driftgeschwindigkeit, Ohmsches Gesetz, spezifischer Widerstand, Temperaturabhängigkeit, Kirchhoffsche Gesetze (KCL/KVL), Wheatstone-Brücke, Innenwiderstand und RC-Schaltungen

1

Elektrischer Strom und Driftgeschwindigkeit

I = n·e·A·v_d, v_d = e·E·τm

Setzt den makroskopischen Strom I mit der mikroskopischen Elektronendriftgeschwindigkeit v_d und der Relaxationszeit τ in Beziehung

I: Aktuell n: Dichte freier Elektronen pro Volumeneinheit e: Elementarelektronenladung (1,602 × 10⁻¹⁹ C) A: Leiterquerschnittsfläche v_d: Driftgeschwindigkeit τ: Mittlere Kollisionsrelaxationszeit

2

Stromdichte und mikroskopisches Ohmsches Gesetz

j = IA = σ·E = Eρ, σ = 1ρ = n·e²·τm

Vektorform des Ohmschen Gesetzes, das die Stromdichte j mit dem elektrischen Feld E und der Leitfähigkeit σ verbindet

j: Stromdichte σ: Elektrische Leitfähigkeit ρ: Widerstand

3

Widerstand, spezifischer Widerstand und Temperaturkoeffizient

R = ρ·(LA), R(T) = R₀·[1 + α·(T - T₀)]

Widerstand skaliert mit Länge und Temperatur; umgekehrt mit der Querschnittsfläche A

R: Elektrischer Widerstand ρ: Elektrischer Widerstand des Materials α: Temperaturkoeffizient des Widerstands

4

Ohmsches Gesetz und elektrische Verlustleistung

V = I·R, P = V·I = I²·R = V²R, H = I²·R·t

Joulesches Wärmegesetz: elektrische Leistung, die in einem Widerstand R als Wärme abgegeben wird

V: Spannungspotentialdifferenz I: Aktuell P: Elektrische Verlustleistung H: Joulesche Wärmewärme wird abgeführt

5

Widerstände in Reihe und parallel

R_series = R₁ + R₂ + ...,1R_parallel = 1R₁+1R₂+ ...

Äquivalente Widerstandsregeln für die Kombination von Netzwerkelementen

R_s, R_p: Ersatzstromkreiswiderstand

6

Elektromotorische Kraft und Innenwiderstand der Zelle

V = E_emf - I·r, I = E_emfR + r

Die Klemmenspannung V ist aufgrund des Innenwiderstands r während der Entladung kleiner als die Leerlauf-EMK ℰ

ℰ: EMF mit elektromotorischer Kraft im Leerlauf V: Klemmenausgangsspannung r: Innenwiderstand der Batterie/Zelle R: Widerstand des externen Lastkreises

7

Kirchhoffs Strom- und Spannungsgesetze (KCL und KVL)

KCL (Junction): ∑ I_in = ∑ I_out, KVL (Loop): ∑ ΔV = ∑ E_emf - ∑ I·R = 0

KCL steht für Ladungserhaltung; KVL steht für die Erhaltung elektrostatischer Energie in geschlossenen Kreisläufen

∑ I: Summe der Knotenknotenströme ∑ ΔV: Summe der Verzweigungspotentialabfälle in der Schleife

8

Gleichgewichtszustand der Wheatstone-Brücke

R₁R₂ = R₃R₄ ⟹ I_galvanometer = 0

Wird in Messgeräten und Postfächern zur Präzisionsmessung unbekannter Widerstände verwendet

R₁, R₂, R₃, R₄: Vier Brückenarmwiderstände

9

Transient beim Laden und Entladen des RC-Schaltkreises

Charging: q(t) = Q₀·(1 - e^(-tRC)), Discharging: q(t) = Q₀·e^(-tRC), τ = R·C

Der Kondensator lädt sich in einer Zeitkonstante τ = RC auf 63,2 % des maximalen Q₀ auf (entlädt sich auf 36,8 %).

τ = RC: Kapazitive Zeitkonstante Q₀: Maximale Dauerladung (C·V₀)

🧲

Kapitel 14: Magnetismus, Biot-Savart- und Lorentz-Kraft

10 Formeln

Magnetische Lorentzkraft, Stromdrahtkraft, Zyklotronradius, Biot-Savart-Gesetz, gerades Drahtfeld, Magnet/Toroid, Parallelströme und magnetisches Dipoldrehmoment

1

Magnetische Lorentzkraft auf bewegte Ladung

F_B = q·(v × B) = q·v·B·sinθ

Senkrechte Ablenkkraft, die auf eine sich bewegende Ladung im Magnetfeld wirkt (keine geleistete Arbeit)

F_B: Magnetische Kraft q: Ladungsgröße v: Geschwindigkeitsvektor B: Magnetische Flussdichte θ: Winkel zwischen Geschwindigkeit und Magnetfeld

2

Gesamte kombinierte Lorentzkraft (E + B-Felder)

F_total = q·(E + v × B)

Überlagerte Kraft in gleichzeitigen elektrischen und magnetischen Feldern (Geschwindigkeitswähler: v = E/B)

E: Elektrisches Feld B: Magnetfeld

3

Magnetische Kraft auf stromführende Leiter

F = I·(L × B) = I·L·B·sinθ

Kraft auf einen geraden, vom Strom I durchflossenen Draht der Länge L, platziert im gleichmäßigen Feld B

F: Magnetische Kraft auf Draht I: Leiterstrom L: Längenvektor in aktueller Richtung

4

Zyklotron-Umlaufbahnradius und -frequenz

r = m·vq·B, f = q·B2π·m, T = 2π·mq·B

Spiral-/Kreisbahnparameter geladener Teilchen im transversalen Magnetfeld (Frequenz ist geschwindigkeitsunabhängig)

r: Gyroradius / Larmorradius f: Zyklotron-Resonanzfrequenz

5

Biot-Savart-Gesetz der Magnetostatik

dB = (μ₀4π)·[I·dl × r̂r²] = μ₀·I·dl·sinθ4π·r²

Infinitesimales Magnetfeld, das vom Stromelement I dl im Abstand r erzeugt wird

μ₀4π: Magnetische Permeabilitätskonstante (10⁻⁷ T·m/A) μ₀: Durchlässigkeit von Vakuum (4π × 10⁻⁷ H/m oder T·m/A) dl: Längenelementvektor

6

Magnetfeld eines langen geraden Drahtes

B = μ₀·I2π·r

Konzentrisches kreisförmiges Magnetfeld im radialen Abstand r von einem unendlich langen geraden Draht

B: Magnetische Flussdichte I: Dauerstrom r: Senkrechter Abstand zur Drahtachse

7

Magnetfeld der kreisförmigen Schleife (Mitte und Achse)

B_center = μ₀·N·I2R, B_axis = μ₀·N·I·R²[2·(R² + x²)^(32)]

Magnetfeld, das von einer kreisförmigen Spule mit N Windungen mit dem Radius R im Abstand x entlang der Achse erzeugt wird

N: Anzahl der Kreiswindungen R: Schleifenradius x: Abstand entlang der zentralen Spulenachse

8

Ampères Schaltkreisgesetz und Magnetfeld

∮ B·dl = μ₀·I_encl, B_solenoid = μ₀·n·I (n = NL)

Gleichmäßiges internes axiales Magnetfeld in einem eng gewickelten Magneten mit n Windungen pro Längeneinheit

B_solenoid: Kernmagnetfeld n = NL: Umdrehungen pro Längeneinheit

9

Kraft zwischen zwei parallelen stromführenden Drähten

FL = μ₀·I₁·I₂2π·d

Anziehungskraft für parallele Ströme in gleicher Richtung; abstoßend für antiparallele Ströme (SI-Ampere-Definition)

FL: Kraft pro Längeneinheit d: Abstand zwischen parallelen Leitern

10

Magnetisches Dipolmoment und Drehmoment in der Stromschleife

M = N·I·A, τ = M × B = N·I·A·B·sinθ, U = - M·B

Funktionsprinzip von Moving-Coil-Galvanometern, Gleichstrommotoren und atomaren magnetischen Momenten

M: Magnetisches Dipolmoment A: Schleifenumschlossener Flächenvektor τ: Ablenkmoment

⚡

Kapitel 15: Elektromagnetische Induktion und Wechselstromkreise

10 Formeln

Faradaysches Gesetz, Lenzsches Gesetz, Bewegungs-EMF, Selbst-/Gegeninduktivität, magnetische Energiedichte, Effektivwerte, Impedanz in LCR-Schaltkreisen, Resonanz und Transformatoren

1

Faradaysches Gesetz der elektromagnetischen Induktion und Lenzsches Gesetz

E_ind = - N·(dΦ_Bdt), Φ_B = B·A = B·A·cosθ

Die induzierte elektromotorische Kraft entspricht der negativen zeitlichen Änderungsrate des Magnetflusses durch die Schleife (Lenz widerspricht der Ursache)

ℰ: Induzierte elektromotorische Kraft (EMF) Φ_B: Magnetischer Fluss N: Anzahl der Umdrehungen

2

Bewegungs-EMF im bewegten Leiter

E_motional = B·L·v·sinθ

EMF, die über die Enden eines leitenden Stabs der Länge L induziert wird, der sich mit der Geschwindigkeit v über das Feld B bewegt

ℰ: Bewegungs-EMF B: Magnetfeld L: Leiterlänge v: Geschwindigkeit

3

Selbstinduktivität und gegenseitige Induktivität

E_self = - L·(dIdt), E_mutual = - M·(dI₁dt), L_solenoid = μ₀·n²·A·l

Widerstand gegen Stromänderungen in einer Spule (selbst) oder einer gekoppelten benachbarten Spule (gegenseitig)

L, M: Selbst- und gegenseitige Induktivität dIdt: Rate der aktuellen Änderung

4

Magnetische Energie in Induktor und Energiedichte

U_B = ½·L·I², u_B = B²2μ₀

Potenzielle Energie, die im Magnetfeld gespeichert ist, das in einem unter Spannung stehenden Induktor entsteht

U_B: Gespeicherte magnetische Energie u_B: Magnetische Energiedichte

5

RMS- und Spitzenwerte von Wechselstrom/-spannung

V_rms = V₀√2 ≈ 0.707 V₀, I_rms = I₀√2 ≈ 0.707 I₀

Effektiver äquivalenter Gleichstrom-Heizwert für sinusförmige Wechselspannung und -strom

V_rms, I_rms: Effektivwerte (z. B. 230V / 120V Netz) V₀, I₀: Sinusförmige Spitzenamplituden

6

Induktive und kapazitive Reaktanz

X_L = ω·L = 2π·f·L, X_C = 1ω·C = 12π·f·C

Frequenzabhängiger Wechselstromwiderstand zum Stromfluss durch Induktivitäten und Kondensatoren

X_L: Induktive Reaktanz (Strom eilt der Spannung um 90° nach) X_C: Kapazitive Reaktanz (Strom eilt der Spannung um 90° voraus) f: Wechselstromfrequenz

7

Impedanz und Phasenwinkel des Serien-LCR-Schaltkreises

Z = √[ R² + (X_L - X_C)² ], tanφ = X_L - X_CR

Gesamter kombinierter elektrischer Wechselstromimpedanz-Oppositionsvektor in Reihenschaltungen R-L-C

Z: Gesamtimpedanz des Stromkreises φ: Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom

8

Resonanzfrequenz und Qualitätsfaktor Q der LCR-Schaltung

f₀ = 12π·√L·C, Q = ω₀·LR = (1R)·√LC

Resonanzbedingung X_L = X_C, bei der die Schaltkreisimpedanz das absolute Minimum Z = R erreicht und der Strom maximiert ist

f₀: Natürliche elektrische Resonanzfrequenz Q: Gütefaktor / Resonanzschärfe (dimensionslos)

9

AC-Wirkleistung und Leistungsfaktor

P_avg = V_rms·I_rms·cosφ, Power Factor: cosφ = RZ

Tatsächlich verbrauchte Leistung in Watt (reine Blindstromkreise mit cosφ = 0 verbrauchen im Durchschnitt null Wattleistung)

P_avg: Echte durchschnittliche elektrische Leistung cosφ: Leistungsfaktor (0 ≤ cosφ ≤ 1)

10

Übersetzungsverhältnis und Wirkungsgrad des Transformators

V_sV_p = N_sN_p = I_pI_s = k, η = P_outP_in = V_s·I_sV_p·I_p

Aufwärts- (k > 1) oder Abwärtstransformation (k < 1) gegenseitige Wechselspannungstransformation zur Erhaltung der Leistung

V_p, V_s: Primär- und Sekundärspannungen N_p, N_s: Primär- und Sekundärspulenwindungen I_p, I_s: Primär- und Sekundärströme

⚛️

Kapitel 16: Optik, Quanten- und moderne Kernphysik

12 Formeln

Spiegel-/Linsengleichungen, Snelliussches Gesetz, Youngscher Doppelspalt, photoelektrischer Effekt, De-Broglie-Materiewellen, Bohr-Atom, radioaktiver Zerfall und Masse-Energie-Relativität

1

Formel und Vergrößerung für sphärische Spiegel

1f = 1v+1u, m = -vu = h_ih_o

Setzt Brennweite f, Bildabstand v und Objektabstand u mit der standardmäßigen kartesischen Vorzeichenkonvention in Beziehung

f: Brennweite (f = R/2) u: Objektabstand vom Pol v: Bildabstand vom Pol m: Lineare Quervergrößerung

2

Snelliussches Gesetz der Brechung und Totalreflexion

n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂, sin(θ_c) = n₂n₁ (for n₁ > n₂)

Ablenkung des Lichtstrahls über optische Grenzen und kritischen Winkel θ_c für vollständige interne Reflexion

n₁, n₂: Brechungsindizes von Medien (n = c / v) θ₁, θ₂: Einfalls- und Brechungswinkel θ_c: Kritischer Winkel für die Totalreflexion

3

Formel des Linsenherstellers und Gleichung für dünne Linsen

1f = (n - 1)·(1R₁-1R₂),1f = 1v-1u, P = 1f(m)

Berechnet die optische Leistung P in Dioptrien (D = m⁻¹) aus dem Brechungsindex n und den Krümmungsradien R₁, R₂

f: Brennweite des Objektivs P: Optische Stärke des Objektivs R₁, R₂: Radien sphärischer Krümmung

4

Youngs Doppelspaltinterferenzstreifenbreite

β = λ·Dd, y_n(bright) = n·(λ·Dd), y_n(dark) = (2n - 1)·(λ·D2d)

Räumlicher Streifenabstand β zwischen aufeinanderfolgenden Interferenzstreifen auf einem Bildschirm im Abstand D

β: Abstand der Fransenbreite λ: Lichtwellenlänge D: Abstand zwischen den Schlitzen und dem Bildschirm d: Schlitztrennungsabstand

5

Einsteins photoelektrische Gleichung

E_photon = h·f = Φ₀ + K_max = h·f₀ + e·V_s

Die Photonenenergie hf überwindet die Metallaustrittsarbeit Φ₀ und verleiht maximale kinetische Energie K_max

h: Plancksches Wirkungsquantum (6,62607 × 10⁻³⁴ J·s) f: Einfallende Photonenfrequenz Φ₀ = h·f₀: Schwellenarbeitsfunktion von Metall V_s: Potenzielle Spannung stoppen

6

De Broglie-Wellenlänge von Materiewellen

λ = hp = hm·v = h√2m·K = h√2m·q·V

Welle-Teilchen-Dualität: Jedem bewegten Teilchen ist eine Quanten-de-Broglie-Wellenlänge zugeordnet

λ: De-Broglie-Wellenlänge p: Teilchenimpuls V: Beschleunigende potentielle Spannung

7

Bohrs Wasserstoff-Atommodell (Energie und Radius)

r_n = n²·h²·ε₀π·m·e² = 0.529·n² Å, E_n = -13.6n² eV

Quantisierte Elektronenbahnradien r_n und gebundene stationäre Energiezustände E_n für wasserstoffähnliche Atome

n: Hauptquantenzahl (n = 1, 2, 3...) E_n: Gesamtenergie der n-ten Orbitalebene

8

Rydberg-Formel für Wasserstoff-Spektralreihen

1λ = R_H·[1n₁²-1n₂²] (Lyman n₁ = 1, Balmer n₁ = 2, Paschen n₁ = 3)

Berechnet die Wellenlängen der Emissions-/Absorptionsspektrallinien in Atomübergängen (n₂ > n₁)

R_H: Rydberg-Konstante (1,097373 × 10⁷ m⁻¹) n₁, n₂: Untere und obere Quantenenergieniveaus

9

Massendefekt und nukleare Bindungsenergie

Δm = [Z·m_p + (A - Z)·m_n] - M_nucleus, E_b = Δm·c² = Δm(amu) × 931.5 MeV

Energie, die benötigt wird, um einen Atomkern in seine einzelnen Protonen und Neutronen zu zerlegen

Δm: Massendefekt E_b: Gesamte Kernbindungsenergie

10

Gesetz und Halbwertszeit des radioaktiven Zerfalls

N(t) = N₀·e^(-λt), T_half = ln(2)λ ≈ 0.693λ, A = λ·N

Statistische Zerfallsrate instabiler Radionuklide (Aktivität gemessen in Becquerels Bq = Zerfälle/s)

N(t): Anzahl der verbleibenden nicht zerfallenen radioaktiven Kerne T_half: Halbwertszeit λ: Radioaktive Zerfallskonstante A: Aktivität

11

Einsteins Masse-Energie-Äquivalenz und relativistische Energie

E = m·c² = γ·m₀·c², E² = (p·c)² + (m₀·c²)²

Invariante Vier-Impuls-Energiebeziehung, die die gesamte relativistische Energie E, den Impuls p und die Ruhemasse m₀ verbindet

c: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (299.792.458 m/s) m₀: Ruheinvariante Masse γ: Lorentz-Faktor

12

Relativistische Zeitdilatation und Längenkontraktion

Δt = γ·Δt₀ = Δt₀√1 -v²c², L = L₀γ = L₀·√1 -v²c²

Bewegte Uhren laufen langsamer (Zeitdilatation); Bewegte Stäbe werden in Bewegungsrichtung verkürzt (Längenkontraktion)

Δt₀, L₀: Richtige Zeit und richtige Ruhelänge v: Relative Geschwindigkeit des Beobachterrahmens

🧪

Vollständige Chemie-Sammlung

Ideale & reale Gasgesetze, chemische Thermodynamik, Geschwindigkeitsgesetze, Nernst-Gleichung, pH-Werte und Kernzerfall.

83+ Gleichungen

🧪

Kapitel 1: Mole-Konzept, Stöchiometrie und Konzentrationsbegriffe

10 Formeln

Quantitative Masse-Mol-Umrechnungen, Avogadro-Beziehung, Molarität, Molalität, Normalität, ppm und Reaktionsausbeuten

1

Mole-Konzept, Probenmasse und Partikelanzahl

n = mM = NN_A

Grundlegende Beziehung zur Umrechnung zwischen Probenmasse, Mol und Elementarteilchen

n: Anzahl der Maulwürfe m: Probenmasse M: Molmasse einer Substanz N: Gesamtteilchenzahl (Atome, Moleküle, Ionen) N_A: Avogadro-Konstante (6,02214 × 10²³ mol⁻¹)

2

Molares Gasvolumen bei STP

V = n·V_m = n·22.414 L

Volumen, das ein Mol eines beliebigen idealen Gases bei Standardtemperatur und -druck einnimmt

V: Gasvolumen bei STP n: Anzahl der Maulwürfe V_m: Standardmolares Gasvolumen (22,414 L/mol bei 1 atm, 22,71 L/mol bei 1 bar)

3

Molarität (molare Konzentration)

M = n_soluteV_solution = w_B × 1000M_B × V_mL

Anzahl der gelösten Mole pro Liter Lösungsvolumen

M: Molaritätskonzentration w_B: Masse des gelösten Stoffes M_B: Molmasse des gelösten Stoffes V_mL: Lösungsvolumen in Millilitern

4

Molalität (temperaturunabhängige Konzentration)

m = n_soluteW_solvent = w_B × 1000M_B × W_A

Mol gelöster Stoff pro Kilogramm reines Lösungsmittel; variiert nicht mit thermischen Temperaturänderungen

m: Molalitätskonzentration w_B: Gelöste Masse W_A: Lösungsmittelmasse in Gramm M_B: Molmasse des gelösten Stoffes

5

Normalität und Äquivalentgewicht

N = w_B × 1000E_B × V_mL = M·n_factor

Grammäquivalente Konzentration pro Liter; Der n-Faktor steht für Säure, Basizität oder Wertigkeitsänderung

N: Normalität E_B: Äquivalentgewicht (M / n-Faktor) n_factor: Valenzfaktor/Elektronenaustauschzahl M: Molarität

6

Molenbruch- und Summationsgesetz

X_A = n_An_A + n_B, X_A + X_B = 1

Dimensionsloses Verhältnis der Mole der Komponenten zu den Mole der Gesamtlösung

X_A: Stoffmengenanteil der Komponente A n_A, n_B: Mole einzelner Komponenten

7

Massenprozent (% w/w) und Teile pro Million (ppm)

%(ww) = (w_solutew_total) × 100, ppm = (w_solutew_total) × 10⁶

Spurenkonzentrationsmetriken, die häufig bei Wassertests und atmosphärischen Analysen verwendet werden

w_solute: Gelöste Masse w_total: Gesamtlösungsmasse ppm: Konzentration von Teilen pro Million

8

Formel zur volumetrischen Lösungsverdünnung

M₁·V₁ = M₂·V₂, N₁·V₁ = N₂·V₂

Erhaltung der gelösten Stoffmole während der Lösungsmittelverdünnung vom Anfangs- zum Endvolumen

M₁, N₁: Bestandskonzentration vor Verdünnung V₁: Aliquotvolumen auf Lager M₂, N₂: Verdünnte Zielkonzentration V₂: Endgültiges Volumen der verdünnten Lösung

9

Prozentuale Ausbeute der chemischen Reaktion

% Yield = (Actual YieldTheoretical Yield) × 100

Verhältnis des experimentell erhaltenen Produkts zum stöchiometrischen Maximum des limitierenden Reaktanten

Actual Yield: Masse des isolierten Produkts aus dem Experiment Theoretical Yield: Berechnete stöchiometrische Masse

10

Empirischer bis molekularer Formelmultiplikator

n = M_molecularM_empirical, Molecular Formula = (Empirical Formula)_n

Ganzzahliger Multiplikator, der das einfachste ganzzahlige Atomverhältnis zur tatsächlichen Summenformel skaliert

n: Integraler stöchiometrischer Multiplikator (1, 2, 3...) M_molecular: Tatsächliche Molekülmasse M_empirical: Empirische Formelmasse

⚛️

Kapitel 2: Atomstruktur, Quantenmechanik und Radioaktivität

8 Formeln

Bohr-Modellbahnen, Rydberg-Spektralübergänge, De-Broglie-Welle-Teilchen-Dualität, Heisenberg-Prinzip und Zerfallskinetik

1

Planck-Einstein-Photonenenergiebeziehung

E = h·ν = h·cλ = h·c·ν_bar

Quantisierte Energie, die von einem elektromagnetischen Photon der Frequenz ν und der Wellenlänge λ getragen wird

E: Photonenquantenenergie h: Plancksches Wirkungsquantum (6,62607 × 10⁻³⁴ J·s) c: Lichtgeschwindigkeit (2,998 × 10⁸ m/s) λ: Wellenlänge ν_bar: Wellenzahl (1/λ)

2

Bohrs wasserstoffähnlicher Atombahnradius

r_n = n²·h²·ε₀π·m·Z·e² = 0.529·(n²Z) Å

Quantisierter Umlaufradius von Wasserstoffatomen mit der Kernordnungszahl Z

r_n: Radius der n-ten Bohr-Umlaufbahn n: Hauptquantenzahl (1, 2, 3...) Z: Kernladungszahl (Ladung)

3

Bohrs elektronische Energieniveaus

E_n = -13.6·(Z²n²) eV = -2.18 × 10⁻¹⁸·(Z²n²) J

Quantisierte Gesamtbindungsenergie des gebundenen Elektrons in der n-ten Hauptschale

E_n: Gesamte Elektronenorbitalenergie Z: Ordnungszahl n: Hauptquantenebene

4

Rydberg-Emissionsspektrumgleichung

1λ = R_H·Z²·(1n₁²-1n₂²)

Spektrale Übergangswellenlängen werden vorhergesagt (Lyman n₁=1, Balmer n₁=2, Paschen n₁=3, Brackett n₁=4, Pfund n₁=5)

R_H: Rydberg-Konstante (1,09677 × 10⁷ m⁻¹) n₁: Niedrigerer Energiezustand n₂: Höher angeregter Energiezustand (n₂ > n₁)

5

de Broglie Materiewellenlänge

λ = hp = hm·v = h√2·m·E_k = h√2·m·q·V

Welle-Teilchen-Dualismus, der zeigt, dass sich bewegende Teilchen eine Wellenlänge aufweisen, die umgekehrt proportional zum Impuls ist

λ: de Broglie-Wellenlänge m: Teilchenmasse v: Teilchengeschwindigkeit V: Beschleunigendes elektrostatisches Potenzial

6

Heisenbergs Unsicherheitsprinzip

Δx·Δp ≥ h4π, ΔE·Δt ≥ h4π

Grundlegende Quantengrenze für die gleichzeitige Präzision von Ort und konjugiertem Impuls

Δx: Unsicherheit in der räumlichen Position Δp: Unsicherheit im linearen Impuls Δv: Unsicherheit in der Geschwindigkeit

7

Einsteins photoelektrische kinetische Energiegleichung

h·ν = Φ + K_max = h·ν₀ + ½·m·v_max²

Energieerhaltung bei Photonenabsorption und Photoelektronenemission

Φ: Austrittsarbeit der metallischen Oberfläche (h·ν₀) ν₀: Grenzfrequenz V_s: Stopppotenzial

8

Gesetz und Halbwertszeit des nuklearen radioaktiven Zerfalls

N(t) = N₀·e^(-λ·t), t_½ = ln(2)λ = 0.693λ

Spontane Kernzerfallsrate erster Ordnung und radioaktive Halbwertszeit

N(t): Unzerfallene radioaktive Kerne, die zum Zeitpunkt t verbleiben N₀: Anfängliche Anzahl radioaktiver Kerne bei t = 0 λ: Radioaktive Zerfallskonstante t_½: Radioaktive Halbwertszeit

💨

Kapitel 3: Gasförmiger Zustand und kinetische Molekültheorie

8 Formeln

Ideale Gasbeziehungen, Dalton-Partialdrücke, Graham-Effusion, Molekülgeschwindigkeiten und reale Van-der-Waals-Gase

1

Ideales Gasgesetz und Gasdichtebeziehung

P·V = n·R·T, P·M = ρ·R·T

Zustandsgleichung des idealen Gasverbindungsdrucks, -volumens, -temperatur und -dichte

P: Gasdruck V: Gasvolumen n: Menge in Mol R: Gaskonstante (0,0821 L·atm/(mol·K) = 8,314 J/(mol·K)) T: Absolute Temperatur ρ: Gasmassendichte

2

Kombiniertes Gasgesetz (Boyle, Charles, Gay-Lussac)

P₁·V₁T₁ = P₂·V₂T₂

Vereinheitlicht die Gasgesetze von Boyle (PV=k), Charles (V/T=k) und Gay-Lussac (P/T=k).

P₁, V₁, T₁: Druck, Volumen und absolute Temperatur im Anfangszustand P₂, V₂, T₂: Druck, Volumen und absolute Temperatur im Endzustand

3

Daltons Partialdruckgesetz

P_total = P_A + P_B + P_C, P_A = X_A·P_total

Der Gesamtdruck in einem nicht reagierenden Gasgemisch entspricht der Summe der einzelnen Partialdrücke

P_total: Gesamtbehälterdruck P_A: Partialdruck von Gas A X_A: Stoffmengenanteil von Gas A im Gemisch

4

Grahams Gesetz der Diffusion und Effusion

r₁r₂ = √M₂M₁ = √ρ₂ρ₁ = V₁t₁V₂t₂

Die Geschwindigkeit der Gasemission/-diffusion durch ein poröses Loch ist umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Molmasse

r₁, r₂: Diffusions-/Ergussraten M₁, M₂: Molmassen von Gasen

5

RMS, durchschnittliche und wahrscheinlichste molekulare Geschwindigkeiten

u_rms = √3RTM, u_avg = √8RTπM, u_mp = √2RTM

Geschwindigkeitsverhältnisse der Maxwell-Boltzmann-Verteilung: u_mp : u_avg : u_rms = 1 : 1,128 : 1,224 = √2 : √(8/π) : √3

u_rms: Mittlere quadratische Geschwindigkeit u_avg: Durchschnittliche Rechengeschwindigkeit u_mp: Wahrscheinlichste Geschwindigkeit bei Spitzenverteilung M: Molmasse in Kilogramm pro Mol

6

Kinetische Gasenergie und mittlere kinetische Energie

E_k,total = (32)·n·R·T, E_k,molecule = (32)·k_B·T

Die gesamte kinetische Translationsenergie und die pro Molekül hängen rein von der absoluten Temperatur ab

k_B: Boltzmann-Konstante (1,38065 × 10⁻²³ J/K) T: Absolute Temperatur

7

Van-der-Waals-Gleichung für reale Gase

(P +a·n²V²)·(V - n·b) = n·R·T

Korrigiert das ideale Gasgesetz für intermolekulare Anziehungskräfte (a) und ausgeschlossenes endliches Molekülvolumen (b)

a: Intermolekularer Anziehungskoeffizient b: Ausgeschlossenes Volumen/Co-Volumen-Koeffizient (4 × Molekülvolumen)

8

Kompressibilitätsfaktor und kritische Konstanten

Z = P·V_mR·T, T_c = 8a27Rb, P_c = a27b², V_c = 3b

Misst die Abweichung vom Idealverhalten (Z=1). Oberhalb der kritischen Temperatur T_c kann Gas nicht verflüssigt werden

Z: Kompressibilitätsfaktor (Z > 1 positive Abweichung, Z < 1 negativ) T_c: Kritische Temperatur P_c: Kritischer Druck V_c: Kritisches Molvolumen

🔥

Kapitel 4: Chemische Thermodynamik und Thermochemie

9 Formeln

Erstes Gesetz, Hess-Gesetz, Bindungsenergien, Entropieänderungen, freie Gibbs-Energie und Gleichgewichtskopplung

1

Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Expansionsarbeit

ΔU = q + w, w = -P_ext·ΔV = -∫ P_ext dV

IUPAC-Konvention: Die am System geleistete Arbeit ist positiv (+), die vom System geleistete Arbeit ist negativ (-).

ΔU: Veränderung der inneren Energie q: Vom System aufgenommene Wärme w: Am/vom System durchgeführte Arbeit P_ext: Äußerer Gegendruck

2

Reversible isotherme Arbeit des idealen Gases

w_rev = -n·R·T·ln(V₂V₁) = -2.303·n·R·T·log(P₁P₂)

Maximal mögliche thermodynamische Arbeit, die bei langsamer quasistatischer isothermer Expansion erzielt wird

w_rev: Maximale reversible Arbeit V₁, V₂: Erste und erweiterte Bände

3

Enthalpiedefinition und gasförmige Molebeziehung

H = U + P·V ⟹ ΔH = ΔU + Δn_g·R·T

Verbindet Reaktionswärme bei konstantem Druck (ΔH = q_p) und konstantem Volumen (ΔU = q_v)

ΔH: Enthalpieänderung ΔU: Interne Energieveränderung Δn_g: Änderung der Gasmole: ∑ n_g(Produkte) - ∑ n_g(Reaktanten)

4

Molare Wärmekapazitäten und Mayer-Relation

C_p - C_v = R, γ = C_pC_v, ΔH = n·C_p·ΔT, ΔU = n·C_v·ΔT

Spezifische Wärmekapazitätsbeziehungen für einatomige (γ=1,66), zweiatomige (γ=1,40) und mehratomige Gase

C_p: Molare Wärmekapazität bei konstantem Druck C_v: Molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen γ: Adiabatisches Wärmekapazitätsverhältnis (Poisson-Index)

5

Standardreaktionsenthalpie aus Bildungsenthalpien

ΔH_rxn° = ∑ ν_p·ΔH_f°(products) - ∑ ν_r·ΔH_f°(reactants)

Berechnet die Standardreaktionsenthalpie (ΔH_f° reiner Elemente in Standardzuständen ist Null)

ΔH_rxn°: Standardreaktionsenthalpie ΔH_f°: Standardbildungsenthalpie ν_p, ν_r: Stöchiometrische Koeffizienten

6

Reaktionsenthalpie aus Bindungsdissoziationsenergien

ΔH_rxn = ∑ Bond Energy(broken in reactants) - ∑ Bond Energy(formed in products)

Nähert sich den gasförmigen Reaktionsenthalpien anhand der durchschnittlichen Dissoziationsenergien kovalenter Bindungen

B.E.: Bindungsdissoziationsenthalpie

7

Kirchhoffs Temperatur-Enthalpie-Gesetz

ΔH_T2 = ΔH_T1 + ΔC_p·(T₂ - T₁)

Bewertet die Reaktionswärme bei unterschiedlichen Temperaturen, wenn die Wärmekapazitäten bekannt sind

ΔC_p: ∑ C_p(Produkte) - ∑ C_p(Reaktanten)

8

Gibbs-Kriterium für freie Energie und Spontaneität

ΔG = ΔH - T·ΔS

Bestimmt die thermodynamische Reaktionsrichtung bei konstanter Temperatur und konstantem Druck

ΔG: Gibbs-freie Energieveränderung ΔH: Enthalpieänderung ΔS: Entropieänderung T: Absolute Temperatur

9

Standardmäßige freie Energie und konstante Gleichgewichtskopplung

ΔG° = -R·T·ln(K_eq) = -2.303·R·T·log(K_eq)

Grundlegender Zusammenhang zwischen chemischen thermodynamischen Potentialen und makroskopischen Gleichgewichtskonstanten

ΔG°: Standardmäßige freie Energieänderung K_eq: Thermodynamische Gleichgewichtskonstante

⚖️

Kapitel 5: Chemisches Gleichgewicht und Le-Chatelier-Prinzip

5 Formeln

Massenwirkungsgesetz, Kc- und Kp-Beziehungen, Reaktionsquotient Q, Dissoziationsgrad und Van-t-Hoff-Gleichung

1

Gesetz der Massenwirkungsgleichgewichtskonstanten (Kc und Kp)

K_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b, K_p = P_C^c·P_D^dP_A^a·P_B^b

Verhältnis der Produktkonzentrationen zu den Reaktantenkonzentrationen, erhöht auf stöchiometrische Potenzen im Gleichgewicht

K_c: Gleichgewichtskonstante in molaren Konzentrationen K_p: Gleichgewichtskonstante bei Partialdrücken

2

Beziehung zwischen Kp und Kc

K_p = K_c·(R·T)^(Δn_g)

Bezieht sich auf Druck- und Konzentrationsgleichgewichtskonstanten; wenn Δn_g = 0, dann ist K_p = K_c

Δn_g: Änderung der stöchiometrischen Gasmole R: Gaskonstante (0,0821 L·atm/(mol·K)) T: Absolute Temperatur in Kelvin

3

Reaktionsquotient (Q) und Richtungskriterium

Q_c = [C]^c·[D]^d[A]^a·[B]^b

Berechnet das Nichtgleichgewichts-Momentanverhältnis, um die spontane Richtung in Richtung Gleichgewicht vorherzusagen

Q_c: Momentaner Nichtgleichgewichtsreaktionsquotient K_c: Gleichgewichtskonstante

4

Van 't Hoff Temperatur-Gleichgewichts-Isochore

ln(K₂K₁) = (ΔH°R)·(1T₁-1T₂)

Prognostiziert Verschiebungen der Gleichgewichtskonstanten mit der Temperatur (K steigt mit T für endothermes ΔH > 0)

K₁, K₂: Gleichgewichtskonstanten bei den Temperaturen T₁ und T₂ ΔH°: Standardreaktionsenthalpie

5

Dissoziationsgrad (α) aus der Dampfdichte

α = D - d(n - 1)·d = M_theoretical - M_observed(n - 1)·M_observed

Anteil der anfänglichen Moleküle, die im Gleichgewicht dissoziiert sind, wobei n Mol Produkte pro Mol Reaktant ist

α: Dissoziationsgrad (0 ≤ α ≤ 1) D: Anfängliche theoretische Dampfdichte d: Beobachtete Gleichgewichtsdampfdichte n: Anzahl der Produktmole, die pro Mol des Reaktanten produziert werden

🧪

Kapitel 6: Ionengleichgewicht, Säuren, Basen und Puffer

6 Formeln

Ostwald-Verdünnung, pH-Skalen, Henderson-Hasselbalch-Puffergleichungen, Salzhydrolyse und Ksp-Löslichkeitsprodukt

1

Ostwalds Verdünnungsgesetz für schwache Elektrolyte

K_a = C·α²1 - α ≈ C·α² ⟹ α = √K_aC

Gültig für schwache Säuren/Basen, wenn der Dissoziationsanteil α << 1

K_a: Säureionisationskonstante C: Anfängliche molare Konzentration α: Ionisationsgrad

2

Autoionisierung von Wasser und pH-pOH-Skala

K_w = [H⁺]·[OH⁻] = 1.0 × 10⁻¹⁴, pH + pOH = pK_w = 14

Grundlegende logarithmische Skalen: pH = -log₁₀[H⁺] und pOH = -log₁₀[OH⁻]

[H⁺]: Molarität von Hydroniumionen [OH⁻]: Molarität der Hydroxidionen K_w: Produkt zur Autoionisierung von Wasser

3

Henderson-Hasselbalch-Gleichung (Säurepuffer)

pH = pK_a + log₁₀([Conjugate Base][Weak Acid]) = pK_a + log₁₀([Salt][Acid])

Berechnet den pH-Wert einer sauren Puffermischung (z. B. CH₃COOH + CH₃COONa)

pK_a: -log₁₀(K_a) der schwachen Säure [A⁻]: Konzentration der konjugierten Base/Salz [HA]: Konzentration der undissoziierten schwachen Säure

4

Henderson-Hasselbalch-Gleichung (Basispuffer)

pOH = pK_b + log₁₀([Conjugate Acid][Weak Base]), pH = 14 - pOH

Berechnet pOH und pH einer basischen Pufferlösung (z. B. NH₄OH + NH₄Cl)

pK_b: -log₁₀(K_b) der schwachen Base [Salt]: Molare Konzentration des Konjugatsalzes [Base]: Molare Konzentration der schwachen Base

5

Salzhydrolyse-pH-Formeln

WA-SB: pH = 7 + ½pK_a + ½log(C), SA-WB: pH = 7 - ½pK_b - ½log(C), WA-WB: pH = 7 + ½pK_a - ½pK_b

Berechnet den pH-Wert, der sich aus der kationischen/anionischen Hydrolyse schwach saurer und schwach basischer Salze ergibt

C: Molare Konzentration der Salzlösung

6

Löslichkeitsproduktkonstante (Ksp) und molare Löslichkeit (S)

A_x B_y ⇌ x A^(y+) + y B^(x-) ⟹ K_sp = x^x·y^y·S^(x+y)

Gleichgewichtskonstante für schwerlösliche Salze (1:1-Salz: K_sp = S²; 1:2-Salz: K_sp = 4S³; 1:3-Salz: K_sp = 27S⁴)

K_sp: Löslichkeitsproduktkonstante S: Molare Löslichkeit von Salz

⏱️

Kapitel 7: Chemische Kinetik und Reaktionsdynamik

6 Formeln

Differential- und integrierte Geschwindigkeitsgesetze, Halbwertszeitgleichungen, Arrhenius-Aktivierungsenergie und Kollisionstheorie

1

Allgemeine Reaktionsgeschwindigkeit und Ausdruck des Geschwindigkeitsgesetzes

Rate = -(1a)·(d[A]dt) = (1c)·(d[C]dt) = k·[A]^m·[B]^n

Gesamtreaktionsordnung = m + n; Die Geschwindigkeitskonstante k hat die Einheit (mol/L)^(1-n) · s⁻¹

k: Spezifische Reaktionsgeschwindigkeitskonstante m, n: Experimentell ermittelte Reaktionsordnungen

2

Integriertes Ratengesetz und Halbwertszeit nullter Ordnung

[A] = [A]₀ - k·t, t_½ = [A]₀2k

Die Geschwindigkeit ist unabhängig von der Reaktantenkonzentration; Die Halbwertszeit ist direkt proportional zur Anfangskonzentration

[A]₀: Anfangskonzentration bei t = 0 [A]: Zum Zeitpunkt t verbleibende Konzentration k: Geschwindigkeitskonstante nullter Ordnung

3

Integriertes Ratengesetz und Halbwertszeit erster Ordnung

k = (2.303t)·log([A]₀[A]), [A] = [A]₀·e^(-k·t), t_½ = ln(2)k = 0.693k

Die Halbwertszeit erster Ordnung ist völlig unabhängig von der anfänglichen Reaktantenkonzentration

k: Geschwindigkeitskonstante erster Ordnung t_½: Halbwertszeit

4

Integriertes Ratengesetz und Halbwertszeit zweiter Ordnung

1[A] = 1[A]₀ + k·t, t_½ = 1k·[A]₀

Die Halbwertszeit ist umgekehrt proportional zur anfänglichen Reaktantenkonzentration

k: Geschwindigkeitskonstante zweiter Ordnung

5

Arrhenius-Rate-Temperatur-Gleichung

k = A·e^(-E_aR·T) ⟹ ln(k) = ln(A) -E_aR·T

Quantifiziert die exponentielle Beschleunigung mit Temperatur und Aktivierungsenergiebarriere

k: Rate konstant A: Präexponentieller Arrhenius-Frequenzfaktor E_a: Aktivierungsenergie R: Gaskonstante (8,314 J/(mol·K)) T: Absolute Temperatur

6

Formel für das Arrhenius-Verhältnis bei zwei Temperaturen

log(k₂k₁) = (E_a2.303·R)·(T₂ - T₁T₁·T₂)

Berechnet die Aktivierungsenergie E_a aus Geschwindigkeitskonstanten, die bei zwei unterschiedlichen Temperaturen gemessen wurden

k₁, k₂: Geschwindigkeitskonstanten bei den Temperaturen T₁ und T₂

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Kapitel 8: Elektrochemie und galvanische Zellen

6 Formeln

Standard-EMF-Potenziale, Nernst-Gleichung, elektrische Arbeit von Gibbs, Kohlrausch-Leitfähigkeit und Faraday-Elektrolysegesetze

1

Standardzellpotential (EMF)

E_cell° = E_cathode° - E_anode° = E_reduction(RHE)° - E_reduction(LHE)°

Elektromotorische Kraft unter Standardbedingungen (1 M Konzentrationen, 1 atm Gasdruck, 298 K)

E_cell°: Standard-Elektromotorische Kraft E_cathode°: Standard-Reduktionspotential der Kathode E_anode°: Standard-Reduktionspotential der Anode

2

Nernst-Gleichung bei 298 K (25°C)

E_cell = E_cell° - (0.0591n)·log₁₀(Q)

Berechnet das nicht standardmäßige elektrochemische Zellpotential für Reaktanten-/Produktaktivitäten, die nicht eins sind

E_cell: Tatsächliches Zellpotential n: Mole an Elektronen, die pro Mol einer ausgeglichenen Reaktion übertragen werden Q: Reaktionsquotient ([Anodenionen] / [Kathodenionen]) F: Faraday-Konstante (96.485 C/mol e⁻)

3

Gibbs freie Energie und Standardzellenpotential

ΔG° = -n·F·E_cell°, E_cell° = (0.0591n)·log₁₀(K_c)

Verknüpft das Standardpotential einer elektrochemischen Zelle mit maximaler elektrischer Arbeit und Gleichgewicht ohne Ausdehnung

ΔG°: Standard-Gibbs-Änderung der freien Energie K_c: Elektrochemische Gleichgewichtskonstante

4

Spezifische und molare elektrolytische Leitfähigkeit

κ = G·(lA) = (1R)·G*, Λ_m = κ × 1000M

Molare Leitfähigkeit pro Mol Elektrolyt (Einheiten: S·cm²·mol⁻¹)

κ: Spezifische Leitfähigkeit (elektrolytische Leitfähigkeit) G*: Zellkonstante (l / A) Λ_m: Molare Leitfähigkeit M: Molarität des Elektrolyten

5

Kohlrauschs Gesetz der unabhängigen Ionenwanderung

Λ_m° = ν₊·λ₊° + ν₋·λ₋°, α = Λ_mΛ_m°

Bei unendlicher Verdünnung trägt jedes Ion unabhängig zur molaren Leitfähigkeit bei; bestimmt die schwache Elektrolytdissoziation α

Λ_m°: Begrenzung der molaren Leitfähigkeit bei unendlicher Verdünnung λ₊°, λ₋°: Begrenzung der Ionenleitfähigkeit von Kationen und Anionen α: Grad der elektrolytischen Dissoziation

6

Faradaysche Gesetze der Elektrolyse

m = Z·I·t = M·I·tn·F,m₁E₁ = m₂E₂

Die an einer Elektrode abgelagerte oder freigesetzte Masse ist proportional zur Ladung Q (Faraday-Konstante F = 96485 C/mol)

m: Masse der freigesetzten/abgelagerten Substanz Z: Elektrochemisches Äquivalent (E / 96485) I: Elektrischer Strom t: Dauer der Elektrolyse E: Äquivalentgewicht (M / n)

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Kapitel 9: Lösungen und kolligative Eigenschaften

6 Formeln

Raoult-Gesetz des Dampfdrucks, der Siedepunkterhöhung, der Gefrierdepression, des osmotischen Drucks und des Van-t-Hoff-Faktors

1

Raoults Gesetz und relative Senkung des Dampfdrucks

P_A = X_A·P_A°,P_A° - P_AP_A° = X_B = n_Bn_A + n_B

Die Verringerung des relativen Dampfdrucks entspricht dem Molanteil des nichtflüchtigen gelösten Stoffes

P_A°: Dampfdruck von reinem Lösungsmittel P_A: Dampfdruck der Lösung X_B: Stoffmengenanteil des nichtflüchtigen gelösten Stoffes

2

Siedepunkterhöhung (Ebullioskopie)

ΔT_b = i·K_b·m = i·(K_b × w_B × 1000M_B × w_A)

Die ebullioskopische Konstante K_b hängt ausschließlich von der Art des Lösungsmittels ab: K_b = (R·T_b²·M_Lösungsmittel) / (1000·ΔH_vap)

ΔT_b: Siedepunkterhöhung K_b: Molale Siedepunkterhöhungskonstante (0,512 K·kg/mol für Wasser) m: Molalität der Lösung i: Van 't Hoff-Faktor

3

Gefrierpunktserniedrigung (Kryoskopie)

ΔT_f = i·K_f·m = i·(K_f × w_B × 1000M_B × w_A)

Kryoskopische Konstante K_f: K_f = (R·T_f²·M_Lösungsmittel) / (1000·ΔH_fus) (1,86 K·kg/mol für Wasser)

ΔT_f: Gefrierpunktserniedrigung K_f: Molale Gefrierpunktserniedrigungskonstante m: Molalität

4

Van 't Hoff-Gesetz des osmotischen Drucks

Π = i·C·R·T = i·(n_BV)·R·T = i·(w_B·R·T)M_B·V

Hydrostatischer Druck ist erforderlich, um die Osmose des Lösungsmittels durch die semipermeable Membran vollständig zu verhindern

Π: Osmotischer Druck C: Molare Konzentration M_B: Molmasse gelöster Stoffe (häufig verwendet für Polymere/Proteine)

5

Van 't Hoff-Faktor (i) für Dissoziation und Assoziation

i = 1 + (n - 1)·α_diss, i = 1 + (1n- 1)·α_assoc

Erklärt abnormale Molekülmassen aufgrund der Ionisierung oder Dimerisierung des Elektrolyten in Lösung

i: Van 't Hoff-Faktor (i > 1 für Dissoziation, i < 1 für Assoziation) α: Grad der Assoziation/Dissoziation n: Anzahl der Ionen oder Assoziationsgrad

6

Henrys Gesetz der Gaslöslichkeit in Flüssigkeit

p_gas = K_H·X_gas, m_gas = k_H·p_gas

In Flüssigkeit gelöstes Gas ist direkt proportional zum Partialdruck über der Flüssigkeit (K_H steigt mit T)

p_gas: Partialdruck von Gas über Flüssigkeit K_H: Henrys Gesetzeskonstante X_gas: Stoffmengenanteil des gelösten Gases

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Kapitel 10: Festkörper und Kristallographie

4 Formeln

Elementarzellendichte, kubische Kristallgeometrien (SC, BCC, FCC), Regeln für das Radiusverhältnis und Bragg-Röntgenbeugung

1

Formel für die Dichte der Elementarzellenkristalle

ρ = z·Ma³·N_A

Theoretische Kristallmassendichte aus Gitterkantenlänge a und effektiver Atomzahl z

ρ: Kristalldichte z: Effektive Anzahl von Atomen pro Elementarzelle (SC: 1, BCC: 2, FCC: 4) M: Molmasse einer Substanz a: Kantenlänge der Einheitszelle N_A: Avogadro-Zahl (6,022 × 10²³ mol⁻¹)

2

Kubische Gittergeometrien und Packungseffizienzen

SC: r = a2 (52.4%), BCC: r = (√34)·a (68.0%), FCC: r = a2√2 (74.0%)

Geometrische Beziehungen zwischen Atomradius r, Kantenlänge a und raumfüllender Packungseffizienz

r: Atomradius a: Gitterkantenlänge

3

Regeln für das Begrenzungsradiusverhältnis und Koordinationsgeometrie

Linear: <0.155 (CN 2),  Triangular: 0.155-0.225 (CN 3),  Tetrahedral: 0.225-0.414 (CN 4),  Octahedral: 0.414-0.732 (CN 6),  Cubic: 0.732-1.000 (CN 8)

Prognostiziert die ionische Kristallkoordinationszahl (CN) und die interstitielle Geometrie anhand des Kationen-/Anionenradiusverhältnisses

r₊r₋: Kation-Anion-Radiusverhältnis

4

Braggs Gesetz der Röntgenbeugung

n·λ = 2·d·sin(θ)

Konstruktive Interferenzbedingung für monochromatische Röntgenstrahlen, die an Kristallgitterebenen im Abstand d gestreut werden

n: Beugungsordnung ganzzahlig (1, 2, 3...) λ: Röntgenwellenlänge d: Interplanarer Abstand zwischen Gitterebenen θ: Bragg-Glanz-/Streuwinkel

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Kapitel 11: Oberflächenchemie und kolloidaler Zustand

3 Formeln

Adsorptionsisothermen von Freundlich & Langmuir, Hardy-Schulze-Regel und Zetapotential

1

Freundlich-Adsorptionsisotherme

xm = k·P^(1n) ⟹ log(xm) = log(k) + (1n)·log(P)

Empirisches Modell für die Gasadsorption auf der Oberfläche eines festen Adsorptionsmittels über moderate Druckbereiche

x: Adsorbierte Gasmasse m: Masse aus festem Adsorptionsmittel P: Gleichgewichtsgasdruck k, n: Adsorptionskonstanten für ein gegebenes Adsorptionsmittel-Gas-Paar

2

Langmuir-Monoschicht-Adsorptionsisotherme

xm = a·P1 + b·P ⟹ Pxm = 1a+ (ba)·P

Theoretisches Modell unter Annahme einer homogenen Monoschicht-Oberflächenbedeckung und lokalisierten identischen Stellen

a, b: Kinetische Adsorptions-Desorptionsparameter nach Langmuir P: Gleichgewichtsdruck

3

Hardy-Schulze-Regel für die kolloidale Koagulation

Coagulating Power ∝ (Valency of Oppositely Charged Ion)⁴

Die Koagulationskraft eines Elektrolyt-Ions steigt dramatisch mit seiner Ladungswertigkeit z

z: Valenzladung des aktiven koagulierenden Ions

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Kapitel 12: Chemische Bindung und Molekülstruktur

5 Formeln

Dipolmomente, Pauling-Ionencharakter, Molekülorbitalbindungsordnung, formale Ladungen und reine Spin-Magnetmomente

1

Elektrisches Dipolmoment (Debye)

μ = q·d, 1 Debye (D) = 3.33564 × 10⁻³⁰ C·m = 10⁻¹⁸ esu·cm

Quantifiziert die molekulare elektrische Polarität aus der Ladungstrennung q über dem Bindungsabstand d

μ: Molekulares Dipolmoment q: Größe der abgetrennten Teilladung d: Bindungsabstand zwischen Ladungen

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Pauling-Prozentsatz ionischer Charakter

% Ionic = 16·|χ_A - χ_B| + 3.5·(χ_A - χ_B)²

Schätzt den prozentualen Ionencharakter einer kovalenten Bindung anhand der Elektronegativitätsdifferenz Δχ

χ_A, χ_B: Pauling-Elektronegativitäten gebundener Atome

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Bindungsordnung im Molekülorbital (MO).

Bond Order = ½·(N_b - N_a)

Nettobindungsstabilität: Bindungsordnung > 0 zeigt ein stabiles Molekül an; Eine höhere Bindungsordnung bedeutet eine kürzere Bindungslänge und eine höhere Bindungsenergie

N_b: Anzahl der Elektronen in bindenden Molekülorbitalen (BMO) N_a: Anzahl der Elektronen in antibindenden Molekülorbitalen (ABMO)

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Formale Ladung des Lewis-Strukturatoms

FC = V - N_lone - ½·N_bonding

Buchhaltung der Valenzelektronen zur Bestimmung der stabilsten Resonanz-Lewis-Struktur

V: Valenzelektronen des freien neutralen Atoms N_lone: Nichtbindende freie Elektronenpaare N_bonding: Gesamte gemeinsame Bindungselektronen

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Nur-Spin-magnetisches Moment von Übergangsmetallionen

μ_s = √n·(n + 2) BM

Berechnet das paramagnetische magnetische Moment aus der Anzahl ungepaarter d-Elektronen n (n=1: 1,73 BM, n=2: 2,83 BM, n=3: 3,87 BM, n=4: 4,90 BM, n=5: 5,92 BM)

μ_s: Nur-Spin-magnetisches Moment n: Anzahl ungepaarter Elektronen

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Kapitel 13: Redoxreaktionen und volumetrische Titrationen

3 Formeln

Oxidationszahlen, Äquivalentgewichte, Redoxneutralisation und Disproportionierungsstöchiometrie

1

Äquivalentgewicht von Oxidations- und Reduktionsmitteln

E = Molar MassNumber of electrons gained or lost per molecule

Beispiel: KMnO₄ in saurem Medium (n=5) E = M/5; in neutralem Medium (n=3) E = M/3; im Grundmedium (n=1) E = M/1

E: Äquivalentgewicht M: Molmasse

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Gesetz der chemischen Äquivalente und Titrationsgesetz

N₁·V₁ = N₂·V₂ ⟹ n₁·M₁·V₁ = n₂·M₂·V₂

Am stöchiometrischen Äquivalenzpunkt entsprechen die Äquivalente des Titriermittels den Äquivalenten des Analyten

N₁, N₂: Normalitäten reagierender Lösungen V₁, V₂: Verbrauchte Titervolumina n₁, n₂: n-Faktoren reagierender chemischer Spezies

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Äquivalentgewicht bei Disproportionierungsreaktionen

E_total = E_oxidation + E_reduction = Mn₁+Mn₂

Bei Redoxreaktionen, bei denen dasselbe chemische Element gleichzeitig oxidiert und reduziert wird

n₁, n₂: Elektronenveränderungen bei Oxidations- und Reduktionshalbreaktionen

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Kapitel 14: Prinzipien der Organischen Chemie und Stereochemie

4 Formeln

Index des Wasserstoffmangels (IHD), spezifische optische Drehung, Enantiomerenüberschuss und Hammett-Gleichung

1

Index des Wasserstoffmangels (Unsättigungsgrad)

IHD = C + 1 - (H2) - (X2) + (N2)

Bestimmt die Gesamtzahl der Ringe und π-Bindungen (Doppelbindung = 1, Dreifachbindung = 2, Benzolring = 4)

C: Anzahl der Kohlenstoffatome H: Anzahl der Wasserstoffatome X: Anzahl der Halogenatome (F, Cl, Br, I) N: Anzahl der Stickstoffatome

2

Biots spezifisches optisches Rotationsgesetz

[α]_D^T = α_obsl·c

Standardmäßige chirale optische Aktivität, gemessen mittels Natrium-D-Linien-Polarimetrie (589 nm).

[α]_D^T: Spezifische optische Drehung α_obs: Beobachteter optischer Rotationswinkel im Polarimeter l: Weglänge des Polarimeter-Probenröhrchens c: Konzentration der Probenlösung

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Enantiomerenüberschuss (% ee) und optische Reinheit

% ee = (|R -S|R + S) × 100 = (α_obsα_pure) × 100

Quantifiziert den chiralen Überschuss eines Enantiomers gegenüber einer racemischen Mischung (50:50-Mischung hat 0 % ee)

% ee: Prozentsatz des Enantiomerenüberschusses [R], [S]: Molprozentsätze der R- und S-Enantiomere

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Hammett lineare freie Energiebeziehung

log(KK₀) = σ·ρ, log(kk₀) = σ·ρ

Bezieht sich auf die elektronischen Effekte von meta/para-Substituenten (σ) und die Reaktionsempfindlichkeit (ρ) auf die Geschwindigkeit der substituierten Benzoesäure

σ: Hammett-Substituentenkonstante (elektronenziehendes σ > 0, spendendes σ < 0) ρ: Reaktionsempfindlichkeitskonstante K, K₀: Gleichgewichtskonstanten mit und ohne Substituent